Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

310 XII. Kapitel. 112 Kap. XIL Almindeliggørelse af Sætninger; Brug af Ligninger af 2. Grad. I Aristoteles’ Analytica Posteriora I, 5. opstilles den Fordring, at de Forudsæt- ninger, under hvilke en Sætning bevises (og udtales) bør være de almindeligste, under hvilke den samme Sætning gælder. I Geometrien maa dette Krav gaa ud paa, at den Figur, som en Sætning gælder, bør være den almindeligste Figur, for hvilken, den er rigtig. Det oplyses ved følgende geometriske Exempel (Aristoteles 74a13): Hvis nu nogen har vist, at de rette Linier vinkelrette (paa en og samme Linie) ikke skærer hinanden, kunde det synes, at hans Bevis gjaldt paa Grund af, at de alle er vinkelrette; men saaledes forholder det sig ikke; det gælder ikke, fordi de netop paa denne Maade danner ligestore Vinkler, men fordi de overhovedet dan- ner ligestore Vinkler. Aristoteles, som paa dette Sted henter flere Exempler fra Geometrien, udtaler vistnok her og mange andre Steder, hvad Geometerne, særlig de, der arbejdede paa den Reform, som beskæftiger os, selv gjorde gældende. Men hans Fremsættelse og Almindeliggørelse af denne oprindelig geometriske Regel maatte bagefter give den forøget Autoritet, ikke mindst for Elementforfatteren. Euklid har da ogsaa fulgt den og særlig i sin VI. Bog benyttet den ved den almindelige Pro- portionslære i V. givne Lejlighed til Almindeliggørelse af de opstillede geometriske Sætninger. Et Exempel herpaa er Almindcliggørelsen af den pythagoreiske Læresætning i VI, 31., hvor Kvadraterne paa Siderne i en retvinklet Trekant ombyttes med lige- dannede Figurer paa disse Sider. Naar Proklos (S. 426,12) udtaler sin særlige Be- undring af denne Sætning, kan jeg i visse Maader tiltræde denne Beundring. Del er dog ikke, fordi den paa det Tidspunkt kunde antages at udvide den geometriske Viden væsentlig. Saaledes sætter allerede Hippokrates med saa stor Frihed lige- dannede Afsnit i Stedet for Kvadraterne paa deres Korder, at han sikkert ikke kan have været i nogen Tvivl om Gyldigheden af det i VI, 31. opstillede Iheorem; men Opfattelsen af den egentlige pythagoreiske Sætning som et specielt Tilfælde af den udvidede har en stor intellektuel Værdi derved, at man i Overensstem- melse med Aristoteles’ Udtryk paa det anførte Sted kan sige, at det i den pytha- goreiske Sætning ikke er paa Grund af, at Figurerne paa Siderne i den retvink- lede Trekant netop er Kvadrater, men paa Grund af, at de i deres Egenskab af Kvadrater er ligedannede, at Hypotenusens Kvadrat bliver lig Summen af Ka- theternes. Der gives imidlertid ogsaa Tilfælde, hvor en saadan Almindeliggørelse nærmest virker forstyrrende, fordi Sætningen netop faar sin Brugbarhed ved al anvendes