Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

113 Almindeliggørelse af Sætninger. 311 paa de mere specielle Tilfælde, og hvor Almindeliggørelsen afleder Opmærksom- heden fra denne Brugbarhed. Dette ér en Anledning til særlig at fremhæve den egentlige pythagoreiske Sætning, og i det af Aristoteles nævnte Tilfælde vil det ofte være bekvemmere at bestemme Paralleler som dem, der staar vinkel- rette paa en given Linie, end som dem, der danner en anden given Vinkel med en anden. Saaledes har det vel stor intellektuel Interesse, at rette Linier be- stemmes paa samme Maade i et skævvinklet Koordinatsystem som i et retvinklet, men naar Koordinatsystemet blot skal optræde som Hjælpemiddel ved geome- triske Undersøgelser, vil man dog jævnlig foretrække et retvinklet, som det, der samtidig giver en simplere Bestemmelse af Afstande og Vinkler, samt af Cirkler. Af lignende Grunde kan vi ikke ubetinget prise den almindelige Skikkelse, som Euklid i VI, 28.—29. har givet de saakaldte Fladeanlæg og i VI, 27. den til det første af disse svarende Mulighedsbetingelse, idet han ombytter Rektangler med Parallelogrammer med en given Vinkel og det manglende eller overskydende Kva- drat med et Parallelogram, hvori tillige Siderne staar i el givet Forhold. Som For- fatter af „Elementer“ med det videnskabelige Formaal at danne Grundlaget for videre- gaaende Undersøgelser kan Euklid vel føle en vis Forpligtelse til at gøre sine Sæt- ninger saa almindelige som muligt; desto mere kan der da bygges paa dem. Men paa samme Tid skjuler Almindeliggørelsen af disse Sætninger det algebraiske For- maal, for hvilket de var bestemte, og som paa en simplere Maade opfyldes af de simple Fladeanlæg. Disse falder ganske sammen med den nu brugelige algebraiske Løsning, naar man blot ombytter deres Rektangler og Kvadrater med Produkter og anden Potens, deres Bestemmelse af en Side i en retvinklet Trekant, hvis to andre Sider er givne, med en Kvadratrodsuddragning. Den pythagoreiske Sætning var allerede i I. Bog fremsat i sin simple Skikkelse, og der havde allerede været rigelig Lejlighed i II.—IV. Bog til at vise de Anven- delser, som man kan gøre af den netop i dens ikke almindeliggjorte Skikkelse. Ligeledes var parabolske Fladeanlæg og el Rektangels Omdannelse til et Kvadrat, eller, som vi nu siger, Løsningerne af Ligningerne ax = bc og x2 = ab i I. og II. givne i deres algebraisk-geometriske Form, før de i VI, 12. og 13. behandles ved Proportioner. Derimod er Ligningerne ax — x2 = bc og -£ ax -j~ x2 = bc, hvis geo- metriske Fremstilling og hvis Løsning er indbefattede i de almindeliggjorte Flade- anlæg VI, 28. og 29., ikke forud opstillede i deres oprindelige simple Skikkelse, om end deres Tilknytning til den geometrisk-algebraiske Behandling tydelig frem- gaar af II, 5. og 6. Det er dog udelukkende i denne simplere Skikkelse, at Euklid virkelig an- vender Fladeanlægene, hvad han gør i rigt Maal i X. Bog. Foruden Afslutningen af Theaitet’s Undersøgelse af Rodstørrelsers Irrationalitet indeholder denne en Klassifikation al de Størrelser, som er irrationale ved Kvadratrod. Udtalt saa- ledes falder denne Inddeling delvis i Øjnene ved Brug af del moderne Kvadratrods- tegn, men ogsaa kun delvis, idet Udtryk af visse Former kan reduceres til andre, navnlig ved at hæve dobbelt Irrationalitet Euklid, der omhyggelig medtager saa- D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og rnatliem. AM., 8. Bække, I. 5.