Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

312 XII. Kapitel. 114 danne Reduktioner, danner de samme Størrelser ved Løsning eller sukcessive Løs- ninger af Ligninger af 2. Grad. Det er disse, der ved at gøres til Fladeanlæg opstilles som Ligninger af 1. Grad mellem Rektangler og Kvadrater, og efter Sætningerne om Fladeanlæg føres tilbage til Angivelse af en Konstruktion; men at Spørgsmaalet er om de fremkomne Størrelsers Kommensurabilitet med givne Størrelser eller ind- byrdes, viser, at der ogsaa tænkes paa Anvendelsen paa numeriske Ligninger. Under disse Omstændigheder er det, al X. Bog kommer til at indeholde saa mange Fladeanlæg, nemlig i 17, 18, 54, 55, 91—101. Idet Undersøgelsen i sig selv er algebraisk, maa Euklid her ogsaa paa anden Maade foretage algebraiske Omdan- nelser, som man nu vilde foretage ved Algebraens nuværende Symboler, men som Euklid maa fremstille ved den geometriske Algebras Rektangler og Kvadrater. Soin omtalt i VII. Kapitel har Euklid vel i II. Bog fremsat og bevist nogle af de Sæt- ninger, der ligger til Grund herfor, navnlig Konstruktionen af en Gnomon, og dertil føjet nogle geometriske Anvendelser som han har øjeblikkelig Brug for; men disse Sætninger giver ikke en direkte Fremstilling af Methoden. Naar Euklid vil bruge den i sin synthetiske Fremstilling, og naar det, han vil bruge, ikke allerede inde- holdes i Sætningerne i II. Bog, maa han give det Form af Hjælpesætninger, om det end beror paa en nok saa simpel Anvendelse af Methoden. Af saadanne Hjælpe- sætninger træffer vi derfor flere i X. Bog, saaledes til Bevis for Sætningerne 17, 22, 29, 33, 54, 60. Den geometriske Algebra viser sig saaledes at være en Methode, som Euklid har til Raadighed, hver Gang han har Brug for den. Da beviser han i sin sæd- vanlige synthetiske Form de af dens Sætninger, som han skal bruge og ikke tid- ligere har bevist; men ct saadant Overblik over disse Sætninger, som særlig vikle vejlede ved Anvendelse af Methoden, giver han derimod intetsleds. Det vigtigste før hans Tid vundne Udbytte af denne, nemlig Løsningen af Ligninger af 2. Grad i Form af Fladeanlæg, har det vel hørt med til hans Formaal at bevise ogsaa for dels egen Skyld. Dette viser sig ikke mindst ved hans Bestræbelse for al give det en saa almindelig Form som muligt; men trods hans flittige Brug af de deri ind- befatlede simple Fladeanlæg finder han det ikke engang fornødent at opstille disse som Korollarer til de almindelige, som han dog ikke bruger i den almindelige Form. AH delle lyder paa, at Euklid ikke blot selv har haft, men ogsaa hos sine Lær- linge har turdet forudsætte en større Færdighed i Anvendelse af den geometriske Fremstilling af Algebraen, end nu Læsere af Euklid, der mener hos ham selv at skulle finde Omfanget af hans Hjælpemidler direkte paapeget, ofte antager. Under disse Omstændigheder vil Rækkevidden af hans algebraiske Hjælpemidler yderligere være forøget ved den almindelige Behandling af Proportioner, der tillader en Frem- stilling af Produkter med et hvilketsomhelst Antal Faktorer ved Hjælp af sammen- satte Forhold. De almindeliggjorte Fladeanlæg i VI. Bog, hvilke Euklid dog som sagt ikke selv lager i Brug, vil paa denne Maade fremstille en Ligning af 2. Grad med Koefficient til det kvadratiske Led (se Keglesnilslæren i Oldtiden 1. Afsnit). Af det her anførte Skrift ses, al det er ved gennemgaaende Brug af den ved