Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

115 Almindeliggørelse af Sætninger. 313 Hjælp af Proportionslæren udvidede geometriske Algebra, at Apollonios har kunnet gennemføre de omfattende Undersøgelser, som hans „Keglesnit“ indeholder. Paa dette Sted bør vi imidlertid især fremdrage de Kendetegn paa Færdighed i alge- braiske Undersøgelser i geometrisk Form, som allerede Euklid lægger for Dagen udover, hvad han deraf har faaet Brug for i „Elementerne“. Saadanne kan søges i „Data“, som jo netop er beregnet paa at lægge den mathematiske Viden til Rette til Brug for de i Analysen indeholdte Reduktioner. Det er netop saadanne Reduk- tioner af de i opstillede Ligninger udtrykte Fordringer, som vi nu foretager, naar vi løser Ligningerne algebraisk. I de Tilfælde, hvor en antik Undersøgelse har et algebraisk Forrnaal, vil „Data“, blot i geometrisk Form, give Anvisning paa de samme algebraiske Reduktioner, som vi nu udtrykker i det algebraiske Tegnsprog. Ved en umiddelbar Oversættelse af den geometriske Fremstilling ses det saaledes, at Data 84. og 85. udtrykker del samme som, al Løsningen af Ligningerne xy = a ij — x—b føres tilbage til Løsning af Ligningen x2 -|- bx — a (hyperbolsk Flade- anlæg), Løsningen af Ligningerne xy = a, x y = b til Løsning af Ligningen bx — x2 = a (elliptisk Fladeanlæg). I 86. rummer den geometriske Form en helt gennemført algebraisk Løsning af Ligningerne xy = a y2 — mx2 == b. Vi skal nedenfor fremsætte den umiddelbare Oversættelse af Løsningen paa Algebraens nuværende Sprog, idel vi blot bemærker, at de deri forekommende Pro- dukter betegner Parallelogrammer (Rektangler), x2 og y2 Kvadrater, og at de Ud- tryk ved de givne Størrelser, som vi skriver paa højre Side af vore Ligninger, er Gengivelse af, al det siges, at Udtrykkene paa venstre Side er „givne“, det vil sige: efter ha anden kan bestemmes, naar a, b og m er givne. Vi skriver da kun de algebraiske Betegnelser for de Operationer, ved hvilke disse sukeessive Bestemmel- ser, som Euklid betragter som bekendte, maa foregaa i Henhold til de tidligere Sætninger af Bogen. Anvendelsen af geometrisk Fremstilling spiller her næsten ingen Rolle; den bestaar kun i, al den Hjælpestørrelse, vi her kalder z, afsættes ud ad y, hvorved ogsaa y — z bliver fremstillet som et Liniestykke; saadanne be- tegner Euklid helt igennem ved Bogstaver paa Endepunkterne. Operationerne er da de følgende: Man sæller b = yz og, da b = y2 — mx2 og xy = a, faas efterhaanden, idet vi Skridt for Skridt gengiver Euklid’s Slutninger: !/ ('/ ... x a X- a2 x2 £ iy (y — z) _ a2 c ’ z b’ z2 b2’ y (i/ — z) m* z2 b2' 4g(g-z) + z* _ (2y —a' , J z2 “ ~ z’ b2 r 41