Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

314 XII. Kapitel. 116 og da Alt dette er Algebra, ved hvis Fremstilling i Ord de geometriske Fremstillings- midler slet ingen Rolle spiller, og geometrisk Anskuelse sættes paa intet Punkt af Euklid’s Fremstilling i algebraiske Slutningers Sted. Hver enkelt af de Ligninger, vi har opstillet, er bygget paa en foregaaende Sætning (eller Definition) i Data, til hvilken henvises i Menge’s Udgave. Vel er det paa en geometrisk Konstruktion af den Størrelse, som siges at være given, naar de i de foregaaende bestemte Stør- relser er det, at der formelt gives Anvisning; men dg man af Euklid’s X. Bog har sluttet, at Grækerne allerede paa den Tid ogsaa anvendte Fladeanlæg til Løsning af numeriske Ligninger, og om end rimeligvis med ret grov Tilnærmelse uddrog de derved forekommende Kvadratrødder, kan vi vide, at de ogsaa, naar a, b og m var givne som Tal, forstod at omsætte de her foreskrevne Konstruktioner til suk- cessiv Beregning af de Størrelser, som efterhaanden paastaas at være „givne“, hvilket maatte ske i fuld Overensstemmelse med de moderne mathematiske Tegn, hvorved vi har udtrykt de foreskrevne Konstruktioner. Euklid siger iøvrigt ikke noget nærmere om, i hvilken Form a, b og m er givne, medens den konstruktive Løs- ning vilde kræve, at a og b fremstilles som Arealer af givne Figurer, m som For- holdet mellem to Linier. Den geometriske Form var dog nødvendig for Euklid, der ikke havde vore Betegnelser for almindelige Størrelser og algebraiske Operationer med disse, naar han skulde give en almindelig Løsning af den stillede Opgave. End ikke el nume- risk bestemt Exempel vilde han kunne fremstille nøjagtig ved Tal og Angivelsen af Regning med disse, da Roduddragningen kun kunde udføres med Tilnærmelse; og en saadan Fremstilling vilde være ham helt umulig, naar ikke a, b og ni er opgivne som rationale Tal. Den algebraiske Sammenhæng mellem de forskellige Operationer er dog ganske den samme, hvad enten de udtrykkes i Euklid’s geo- metriske Sprog eller i den nuværende Algebras, og den algebraiske Færdighed i al benytte disse Forbindelser til at løse forelagte Opgaver lader sig derfor næsten lige godt knytte til den ene eller anden af disse Fremstillingsformer. Al del i det fore-