Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

117 Almindeliggørelse af Sætninger. 315 liggende Tilfælde, naar man har el Udtryk for —^-3—, vil føre til el fuldstændigt Kvadrat at multiplicere med 4 og lægge 1 til, er f. Ex. et Kunstgreb, som Euklid har haft paa rede Haand uden at behøve at tegne en Gnomonfigur, ligesom den, der nu kan Formlen for et Kvadrat af et Binom udenad. Allerede ved Indførelsen af den nye ubekendte z har Euklid tilmed haft Dannelsen af et med en „given“ Størrelse ligestort Kvadrat for Øje. En saadan algebraisk Indførelse af en ubekendt Hjælpestørrelse, hvoraf Diofant 600 Aar senere gør saa heldige Anvendelser, var altsaa lige saa lidt noget ukendt paa Euklid’s Tid som algebraiske og numeriske Anvendelser af Ligninger af anden Grad. Det er blot bleven mere skjult for Læsere i den nyere Tid derved, at Euklid selv overalt lægger Hovedvægten paa den Forbindelse med exakt bestemte geometriske Konstruktioner, som han i Tilslutning til Platon’s Disciple havde sat sig til særlig Opgave al behandle. Manglen af Fremhæven af den rent algebraiske Side af Sagen tyder, som alt fremhævet, snarere paa, at heri ikke dengang laa noget nyt. Det kunde dog ikke undgaas, at ogsaa selve Algebraen gik frem ved den Brug, Euklid gør af den f. Ex. til at løse den her omtalte Opgave i Data 86, og ved de mangfoldige Anvendelser af Algebraen, som f. Ex. Apollonios gjorde saavel i sine Smaaskrifter som i Keglesnitslæren, hvor de med- deles under samme geometriske Former som hos Euklid. Diofant’s algebraiske Opgaver viser, at denne Beskæftigelse med Algebraen er forisat gennem de mange mellemliggende Aarhundreder og vel nok videre udviklet under Anvendelsen paa liere og forskellige numeriske Opgaver. Det er som sagt den geometriske Form, der her som andetsteds giver de alge- braiske Operationer den for selve disse ønskelige Almindelighed; men Formaalet for Euklid’s Data er ikke at give en Øvelse i disse. I Overensstemmelse med vore Be- mærkninger S. 32 (230) skal de ved Siden af Elementerne som Grundlag give Midler til videregaaende Undersøgelser, og delle har i Euklid’s Øjne ogsaa her krævel den forøvrigt let købte højere Grad af Almindelighed, som i de anførte Sætninger 84.—86. faas ved at ombytte Rektangler og Kvadraler med Parallelogrammer og Rhomber med en given Vinkel. For denne Almindeliggørelse særlig af 86. kan Euklid iøvrigt have haft en Anvendelse i de videregaaende Undersøgelser, som beskæftigede ham selv under hans Behandling af Læren om Keglesnit. Hvad hans tabte Keglesnitselementer indeholdt, antages jo nærmest at være det, som Archimedes forudsætter bekendt. Dertil hører den Sætning, som man i Nutiden ofte har kaldt „Apollonios’ Sætning“, og som anvendt paa en Hyperbel i mere geometrisk Form udtrykker det samme som denne Kurves Fremstilling ved den i Data 86. behandlede Ligning y2 — mx2= b, naar den henføres til et Par konjugerede Diametre. Ligningen xy = a for en lige- sidet Hyperbel henført til sine Asymptoter var kendt af Menaichmos. Med Euklid’s Lyst til Almindeliggørelse ligger det ikke fjernt al antage, at han, som senere Apollonios, kendte den samme Lignings Anvendelse til at henføre en vilkaarlig Hyperbel til sine Asymptoter. I saa Fald har Euklid vidst, at den i Data 86. be-