Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

119 Idealiteten af de geometriske Figurer. 317 Hertil har vi all henvist i VI. Kap., hvor det omtaltes, at man behandlede plane Figurer og rette Linier, længe før man var i Stand til i Ord at give et fuld- komment Udiryk for, hvad en Plan eller en ret Linie er, ja før man tænkte paa, at dette kunde være ønskeligt eller nødvendigt. For Planers Vedkom niende gjorde man sig maaske knap Rede for, at de anstillede Betragtninger kun gælder om Fi- gurer, der ligger i en saadan, eller man opdagede først dette, naar der gjordes For- søg paa al anvende dem paa Figurer, der i iøjnefaldende Grad ikke laa i en Plan. Til at bemærke saadanne Afvigelser, hvad man sikkert tidlig kunde, hørte dog en ret lydelig Forestilling om en ideal Plan, og hvor fuldstændig den umiddelbare Tilegnelse af denne og andre ideale geometriske Forestillinger har været, før man har opstillet Definitioner, fremgaar af, at disse sidste prøves efter, hvor godi de slemmer med det forud intuitivt tilegnede Billede. Er man uenig om, hvorvidt cn Definition er god og fyldestgørende, forudsætter de, der forhandler derom, dog fuld Overensstemmelse om, hvad det er, man vil definere. Denne Overensstem- melse gælder ogsaa Spørgsmaalet om, hvad der virkelig menes med en tegnet Figur. Af denne Grund har vi i de Sammenligninger, vi hidtil har anstillet mellem den ældre Geometri og den fra Platon’s Tid paabegyndte helt rationelle Behand- ling, rolig kunnet gaa ud fra, at Talen er om ganske de samme ideale Figurer, baade da man ikke endnu gav deres ideale Egenskaber Udtryk i Ord, og da man senere definerede dem og lagde Definitioner og Axiomer til Grund for et synlhetisk opbygget Syslem. Disse Definitioner er jo, som forklaret i Kap. IV, netop dannede ved en Analyse af de Sætninger, man forud kendte, og om hvis Rigtighed man allerede forud var overtydet. Denne Analyse maatte føres tilbage til de Grundegen- skaber, man stiltiende, uden al gøre sig Rede derfor, maatte have tillagt Figurernes enkelte Dele, naar de deraf dannede Figurer virkelig skulde have de Egenskaber, som Sætningerne tillægger dem. De Egenskaber, som Geometerne af den platonisk- euklidiske Skole ad denne analytiske Vej maatte bringes til at udtale i deres De- finitioner og Postulater, viser sig iøvrigt al være ganske de samme, som del ogsaa efter Dr. Rubin’s Undersøgelser om Synsoplevelser maatte falde naturligt al forud- sætte, ogsaa før man tænkte paa i Ord at udtale dem, en Omstændighed, der i Virkeligheden har sparet Reformatorerne en stor Del af Arbejdet ved den her om- talte Analyse. Som Exempel herpaa kan vi nævne Begrebet: Linie uden Tykkelse eller, som vi vil sige her, hvor vi væsentlig beskæftiger os med plane Figurer, uden Bredde, og del dermed forbundne: Punkt uden Udstrækning. Som vi har set i Tilslutning til Rubin, er del fra først af Fladefigurer, der er Genstand for Synsoplevelser. Li- nierne træder først frem som Dele af Fladefigurers Begrænsning. Optræder en Linie som Grænse mellem to Fladefigurer, der kan skelnes ved forskellige Farver, bliver der slet ikke Anledning til at tillægge den nogen Bredde. Den oprindelige Opmærksomhed for Fladefiguren er endog saa stærk, at man bringes til netop al lænke paa den, naar dens Omrids gengives ved Streger. Saalænge man kun tænker paa disse som Fladefigurens Begrænsning, tænker man ikke paa al tillægge dem