Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

318 XIII. Kapitel. 120 nogen Bredde. Og har de en saa stor Bredde, at man ikke kan undlade at tage den i Betragtning, vil man straks spørge, om Fladefiguren skal regnes til Stregens ydre eller indre Rand, altsaa virkelig til en Linie uden Bredde, nemlig Grænsen mellem- den ved Stregens Bredde opstaaende Stregfladefigur og Tegnepapirets Grund. Vælger man f. Ex. Midterlinien mellem Stregens Grænselinier, bliver den ogsaa en Linie uden Bredde. At de Operationer, soin man allerede finder omtalt i Culbasu- traerne, i Virkeligheden kun gælder, naar man tænker sig Grænselinierne som Linier uden Bredde, overbeviser man sig let om. Den der beskrevne Omdannelse af et Rektangel til et Kvadrat gælder saaledes kun, naar begge Figurer er omgivne af mathematiske rette Linier. Naar dette ikke er Tilfældet, men Figurerne er om- givne af en Rand, der for begge har samme Bredde, kan man ikke se saaledes bort fra denne, at man f. Ex. siger, at naar Omdannelsen gælder for de indre Omkredse, rnaa den samme gælde for de ydre Omkredse. Nej, den Tillid, som man med Rette havde til Omdannelsens Rigtighed, kan kun have været knyttet til Opfattelsen af Grundlinierne som Linier uden Bredde. Denne Opfattelse har ved denne og mange andre geometriske Operationer været en Forudsætning, hvormed ogsaa Grækerne regnede, længe før de slog den fast i en udtrykkelig Definition. Paa lignende Maade faar Punktet som Grænse for en begrænset Linie eller som Skæringspunkt mellem lo Linier ingen Udstrækning1). Det er saaledes i fuld Overensstemmelse med, hvad den ældre Geometri fak- tisk havde forudsat, at man, da man ved en Analyse af denne vilde gaa tilbage til dens mest elementære Forudsætninger for dernæst at tage dem til første Udgangs- punkter for en synthetisk Opførelse af et rationelt System, maatte ende denne Ana- lyse med at betragte Linierne som Grænser for Fladefigurer, der som saadanne ingen Bredde havde, men kun Udstrækning i Længde, og paa lignende Maade for Punkter som Grænser for Linier og Flader som Grænser for Legemer. Netop denne Analyse giver sig Udtryk i Euklid’s første Definitioner, men i den omvendte Orden, som baade det hele og Enkelthederne skal antage, naar Udbyttet af en Analyse omsættes til Synthese. I Definition 1. hedder det: Et Punkt er det, som ikke kan deles; i 2.: En Linie er en Længde uden Bredde; i 3.: En Linies Grænser er Punkter; i 5.: En Flade er det, som kun har Længde og Bredde; i 6.: En Flades Grænser er Linier. I XL Bog suppleres de med 1.: Et Rum er det, som har Længde, Bredde og Dybde; 2.: Et Rums Grænse er en Flade. Man har ofte i disse Definitioner villet se to *) Det er i denne Sammenhæng mindre væsentligt, at man efter et Forsøg af Rubin S. 180 ogsaa kan synsopleve en som Streg tegnet Linie som Linie uden Bredde. Fjerner man sig nemlig fra den, vil enhver Opfattelse af dens Bredde ophøre før Opfattelsen af, at der overhovedet er en Linie. Det samme er iøvx-igt vel bekendt fra Astronomien for Punkters Vedkommende. Idet vi kan se Fixstjernerne og angive deres Plads, men ikke kan opfatte nogen Udstrækning af en Fixstjerne, bliver disse virkelig til Punkter paa Himmelkuglen. Dette er de dog ikke for den umiddelbare Sansning ined det blotte Øje eller gennem Kikkert. Manglen paa synlig Udstrækning opdager man nemlig derved, at den tilsyne- ladende Udstrækning bliver mindre, i jo større Forstørrelse man betragter Himlen. For vor Synsop- fattelse fremstiller de sig altsaa altid med en vis Udstrækning.