Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab
Forfatter: H.G. Zeuthen
År: 1917
Forlag: Bianco Lunos Bogtrykkeri
Sted: København
Sider: 181
UDK: 510
Søgning i bogen
Den bedste måde at søge i bogen er ved at downloade PDF'en og søge i den.
Derved får du fremhævet ordene visuelt direkte på billedet af siden.
Digitaliseret bog
Bogens tekst er maskinlæst, så der kan være en del fejl og mangler.
121
Idealiteten af de geometriske Figurer.
319
Rækker Definitioner paa de samme geometriske Grundbegreber, som kunde hidrøre
fra forskellige Kilder, og som Euklid af Troskab mod Overleveringen havde ment
at burde medtage begge. For en saadan historisk Hypothese bliver der imidlertid
ikke Brug, naar man lægger Mærke til, at de ganske nøje antager de Skikkelser,
som de maa i en Synthese af de Elementer, som maa fremkomme ved en
Analyse af den Geometri, der tidligere gjorde praktisk Brug af de her definerede
Begreber. Definitionerne i første Række I, 1., 2. og 5., XI, 1. paa Punkt, Linie,
Flade, Rum er de virkelige Definitioner, de, der skal danne Udgangspunkter for en
synthetisk Behandling; de er de yderste Grænser, hvortil Analysen kan føre; og
de er ordnede efter deres Simpellied. Ved Analysen maa man være kommet til
dem i omvendt Orden. Denne Analyses forskellige Skridt kan man genfinde i den
anden Række Definitioner XI, 2., I, 6. og 3.; men i Synthesen maa de fremstilles i
omvendt Orden, og deres Plads i Synthesen hævder de ikke som nye Definitioner
paa Punkt, Linie og Plan; nej, ogsaa i dem selv bevæger Synthesen sig i modsat
Retning af Analysen, saa de nu — ogsaa efter deres Ordlyd — bliver Definitioner
paa Grænser for Linier, Flader og Legemer, og derved forklares, hvad begrænsede
Linier, Flader og Legemer er. Ogsaa disse Begreber, fra hvis Existens Analysen er
gaaet ud, og som i Virkeligheden er Genstande for mere umiddelbare Sanseop-
levelser, maa nu indføres ved udtrykkelige Definitioner. Som svarende til sidste Led i
den geometriske Analyse, der har ført til de virkelige Definitioner paa Grund-
begreberne, maa de i Synthesen hver for sig komme efter den tilsvarende Definition.
Som man ser, udsiger de anførte Definitioner paa rette Plads netop, hvad der
skal siges for at have de rette Udgangspunkter for de følgende Undersøgelser, uden
at give nærmere Forklaring eller anstille yderligere Betragtninger; men saadanne
har ganske sikkert baade gaaet forud, ledsaget og fulgt efter Opstillingen af Defini-
tionerne; dertil maatte Uvirkeligheden af Begreberne: geometriske Figurdele uden
Udstrækning i den ene, den anden eller alle Retninger indbyde. Hvad vi i den
Henseende træffer saa langt tilbage som hos Pythagoreerne og Zenon1), vedrører
nærmest Spørgsmaalet om Tilladeligbeden af infinitesimale Grænseovergange, for
hvilke først langt senere Eudoxos fandt en exakt Form. Naar saaledes Pythago-
reerne definerer et Punkt som : Enhed med Beliggenhed, staar dette i Modsætning
lil de euklidiske Definitioner, der udelukkende giver Punktets Beliggenhed. Ordet
Enhed peger derimod hen paa en Bestræbelse efter at udtrykke Liniers Længder
ved Tal, der ganske vist maa være uendelig store, naar Linierne er inkommen-
surable, men hvis Forhold man ved en intuitiv Grænseovergang har ment al kunne
behandle. En Linie skulde da bestaa af uendelig mange Punkter. Herimod ind-
vender Zenon med Rette, at hvis Punktet ingen Udstrækning har, faar man kun
el Punkt, hvor tidl man end gentager del, og hvis del har en nok saa lille Ud-
strækning, vil en uendelig Gentagelse give en uendelig Linie. Allerede her træder
*) Herom henvises til P. Tannery’s Omtale af Zenon i „Pour l’histoire de la science heléiie*.
Paris 1887.
D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidens!«. og' matbem. Afd., 8. Række. ,1. 5.
42