Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

121 Idealiteten af de geometriske Figurer. 319 Rækker Definitioner paa de samme geometriske Grundbegreber, som kunde hidrøre fra forskellige Kilder, og som Euklid af Troskab mod Overleveringen havde ment at burde medtage begge. For en saadan historisk Hypothese bliver der imidlertid ikke Brug, naar man lægger Mærke til, at de ganske nøje antager de Skikkelser, som de maa i en Synthese af de Elementer, som maa fremkomme ved en Analyse af den Geometri, der tidligere gjorde praktisk Brug af de her definerede Begreber. Definitionerne i første Række I, 1., 2. og 5., XI, 1. paa Punkt, Linie, Flade, Rum er de virkelige Definitioner, de, der skal danne Udgangspunkter for en synthetisk Behandling; de er de yderste Grænser, hvortil Analysen kan føre; og de er ordnede efter deres Simpellied. Ved Analysen maa man være kommet til dem i omvendt Orden. Denne Analyses forskellige Skridt kan man genfinde i den anden Række Definitioner XI, 2., I, 6. og 3.; men i Synthesen maa de fremstilles i omvendt Orden, og deres Plads i Synthesen hævder de ikke som nye Definitioner paa Punkt, Linie og Plan; nej, ogsaa i dem selv bevæger Synthesen sig i modsat Retning af Analysen, saa de nu — ogsaa efter deres Ordlyd — bliver Definitioner paa Grænser for Linier, Flader og Legemer, og derved forklares, hvad begrænsede Linier, Flader og Legemer er. Ogsaa disse Begreber, fra hvis Existens Analysen er gaaet ud, og som i Virkeligheden er Genstande for mere umiddelbare Sanseop- levelser, maa nu indføres ved udtrykkelige Definitioner. Som svarende til sidste Led i den geometriske Analyse, der har ført til de virkelige Definitioner paa Grund- begreberne, maa de i Synthesen hver for sig komme efter den tilsvarende Definition. Som man ser, udsiger de anførte Definitioner paa rette Plads netop, hvad der skal siges for at have de rette Udgangspunkter for de følgende Undersøgelser, uden at give nærmere Forklaring eller anstille yderligere Betragtninger; men saadanne har ganske sikkert baade gaaet forud, ledsaget og fulgt efter Opstillingen af Defini- tionerne; dertil maatte Uvirkeligheden af Begreberne: geometriske Figurdele uden Udstrækning i den ene, den anden eller alle Retninger indbyde. Hvad vi i den Henseende træffer saa langt tilbage som hos Pythagoreerne og Zenon1), vedrører nærmest Spørgsmaalet om Tilladeligbeden af infinitesimale Grænseovergange, for hvilke først langt senere Eudoxos fandt en exakt Form. Naar saaledes Pythago- reerne definerer et Punkt som : Enhed med Beliggenhed, staar dette i Modsætning lil de euklidiske Definitioner, der udelukkende giver Punktets Beliggenhed. Ordet Enhed peger derimod hen paa en Bestræbelse efter at udtrykke Liniers Længder ved Tal, der ganske vist maa være uendelig store, naar Linierne er inkommen- surable, men hvis Forhold man ved en intuitiv Grænseovergang har ment al kunne behandle. En Linie skulde da bestaa af uendelig mange Punkter. Herimod ind- vender Zenon med Rette, at hvis Punktet ingen Udstrækning har, faar man kun el Punkt, hvor tidl man end gentager del, og hvis del har en nok saa lille Ud- strækning, vil en uendelig Gentagelse give en uendelig Linie. Allerede her træder *) Herom henvises til P. Tannery’s Omtale af Zenon i „Pour l’histoire de la science heléiie*. Paris 1887. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidens!«. og' matbem. Afd., 8. Række. ,1. 5. 42