Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

320 XIII. Kapitel. 122 en abstrakt Opfattelse af et Punkt som værende uden Udstrækning os lydelig imøde, selv om Pythagoréerne søgte at ombytte Manglen paa Udstrækning med en uende- lig lille Udstrækning. AL Mathematikerne ogsaa før Platon gjorde de ideale Fore- stillinger gældende, ser vi, naar Sofisten Protagoras netop bebrejder Mathematikerne, at de gør dette og f. Ex. paastaar, at en Tangent til en Cirkel kun har el Punkt fælles med denne. Paa den anden Side finder man ogsaa Bestræbelser for at bringe Overens- stemmelse mellem de ideale, definitionsmæssige Bestemmelser af de geometriske Former og deres Optræden i Virkeligheden, og selv om saadanne først foreligger fra den eftereuklidiske Tid, kan lignende Betragtninger næppe have været frem- mede for dem, der slog de ideale Opfattelser fast i Definitioner. Naar disses Uover- ensstemmelse med den erfaringsmæssige Virkelighed vakte saadanne Modsigelser som fra Protogoras, maatte der nemlig ogsaa fremkomme forklarende Forsvar. I et af Proklos (S. 100-, 6-19) anført Sted af et tabt Skrift af Apollonios1) gør denne gældende, at naar man taler om Længden af en Vej eller af en Mur, opfatter man denne for saa vidt kun som en Linie med en Dimension. Mindre slaaende synes det at være, naar samme Sted en Slagskygges Begrænsning nævnes som Exempel paa en mathematisk Linie; thi naar Lysgiveren ikke allerede er el mathe- inatisk Punkt, naar den f. Ex. er Solen, vil Overgangen mellem Lys og Skygge finde Sted i en Stribe af endelig Bredde. I hvert Tilfælde har dette Exempel ikke inde- holdt nogen Tanke, som kunde være fremmed for dem, der foretog den Analyse, som ligger bagved Euklid’s Definition I, 6. løvrigt kan del ikke med Bestemthed ses af Proklos’ Citat, om ogsaa det fra Slagskyggens Begrænsning henlede Exempel skyldes Apollonios. Denne har dog netop haft Lejlighed til at betragte Kegle- snitslinierne som Grænselinier for Slagskyggen af en Cirkel eller en Kugle. Dette har lian kunnet, naar han betragtede Lysgiveren som et Punkt, hvad han kunde med samme Ret, som han — i passende Sammenhæng — betragtede en Vej eller en Mur som en Linie. Det hele Citat viser, al Apollonios har fremhævet Beret- tigelsen til — naar det sker i rette Sammenhæng — at „betragte“ empiriske Punkter, Linier og Flader som mathematiske, allsaa til at anvende Geometriens idealiserende Abstraktioner paa Virkeligheden. Ved denne Forklaring af de gængse Abstraktioner er han langt fra at sætte sig i Modsætning til disse. >) P. Tannery har (Bulletin des Sciences mathématiques, 2 serie, t V. (1881) S. 124—136; Mémoires scientifiques I, S. 124—138) ved Sammenstilling af de Uddrag af dette Skrift, som forefindes, og nogle beslægtede Uddrag af unævnte Forfattere foi'søgt at give en Forestilling om, hvad dette Skrift kan have indeholdt.