Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

125 Stereometrien. 323 femte, Dodekaedret, anses for tvivlsomt1). Nogen saglig Grund til Tvivl, eller til at lægge synderlig Vægt paa denne mulige Mangel, er der dog ikke; thi Omtalen af de øvrige Polyedre viser, at man allerede var opmærksom paa det Hovedkrav, der stilledes, at Hjørnerne maa begrænses af Vinkler i kongruente regulære Polyedre, hvis Sum er mindre end 4 rette, og da blev Medtagelsen af det af regulære Fem- kanter begrænsede Dodekaeder i hvert Fald kun el Tidsspørgsmaal. Det Spørgs- inaal, i hvilke Arter kongruente Polygoner man kan dele Planen, hænger nøje sam- men dermed og er behandlet af Pythagoreerne (Proklos S. 305,3). Derfor behøver Pythagoreerne ikke at have bevist den til Grund liggende Sætning om Summen af Siderne i et konvext Hjørne i samme Almindelighed og paa samme Maade, som det sker hos Euklid i XI, 21., der igen er bygget paa Sætning XI, 20., som udsiger, at Summen af to Sider i et tresidet Hjørne er større end den tredie. I Beviset for denne Sætning benytter Euklid Sætninger af den Del af I. Bog, om hvis Indhold vi i VIII. Kap. har set, at det i væsentlig Grad skyldes Euklid’s (og Menaichmos’) Bearbejdelse, navnlig den, at i to Trekanter ABC og AlBlC1, hvor Siderne = og c = ct, vil A^At medføre a^,a1. For at finde de regulære Polyedre var del derimod nok at vide, at Summen af Siderne i et regulært Hjørne er mindre end 4 rette, og i dette specielle Tilfælde fremgaar Sætningen let ved at betragte en ret- staaende regulær Pyramide. Ved Udarbejdelsen af virkelige „Elementer“ af Stereo- metrien fik man derimod det nødvendige Grundlag for Læren om regulære Poly- edre i den almindeligere og videnskabelige Form, hvori det gives hos Euklid. Samtidig gav Euklid’s Elementer, særlig den deri indeholdle Behandling al Spørgsmaal, der afhænger af Ligninger af anden Grad, saml X. Bogs Klassificering af irrationale Størrelser, Grundlaget for de videregaaende Undersøgelser, som vist- nok Theaitet havde begyndt, og som indeholder Bestemmelsen af Kanterne i et regulært Polyeder, naar den omskrevne Kugles Diameter eller Radius er given. Bestemmelserne foreligger vel i Form af Konstruktionsregler; men soin overalt i den geometriske Algebra giver disse en lignende Anvisning ogsaa paa praktisk Be- regning, som vi nu har i de algebraiske Formler. Denne Undersøgelse findes i Euklid’s XIII. og sidste Bog og kunde for saa vidt gerne opfattes som en videre- gaaende Anvendelse af dc i de foregaaende Bøger fremsatte Elementer; men paa den anden Side udgør dens Indhold selv „Elementer“ for de endnu videregaaende Undersøgelser over de samme Polyedre af Apollonios og dernæst for dem af Hypsikles, som man paa Grund af denne Tilslutning har betragtet som en XIV. Bog at Elementerne. — For Sfærikens Vedkommende indeholder Euklid’s Elementer intet udover, hvad han selv bruger i Beviset for Kuglers Proportionalitet med Dia- metrenes Kuber; men de yder de stereometriske Elementer, som giver ogsaa de sfæriske Undersøgelser et videnskabeligt Grundlag. Først senere sammenstiller Me- nelaos i den første Bog af sin Sfærik virkelige Elementer for Sfærikcn, idet han om de af ham indførte sfæriske Trekanter opstiller og beviser en Række Sætninger, Se Diels: Vorsokratiker (3. Udgave 1912) I S. 314,12. [Se dog Tillæg om E. Sachs’ nye Arbejde].