Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

324 XIV. Kapitel. 126 der svarer til Euklid’s om plane Trekanter; men ogsaa for disse ligger de af Eu- klid i XI. Bog opstillede Elementer af Stereometrien til Grund. Disse Elementer har saaledes for Stereometriens Vedkommende samme For- maal som for Plangeometrien de tidligere af Euklid’s Bøger og særlig første Bog, men er svagere og mindre gennemførte i den Maade, hvorpaa dette Formaal realiseres. Herved tænker jeg ikke paa, at visse Definitioner ikke tilfredsstiller de Fordringer, som man nu stiller til en genetisk Definition, der hverken maa sige mere eller mindre, end der er nødvendigt for at tilvejebringe Figuren. Disse er ikke opfyldte, naar f. Ex. et Prisme siges at være den Rumfigur, der begrænses at to modstaaende kongruente (ligestore og ligedannede) plane Figurer og ellers af Parallelogrammer; Tilvejebringelsen og dermed Beviset for Existensen henviser Eu- klid nemlig her som andetsteds til Sætninger eller Postulater. Andre Definitioner eller Mangler paa Definitioner giver, som vi snart skal se, Anledning til alvorligere Anker. Hvad man endvidere savner, er noget, som svarer til I. Bogs Postulater; ja, Euklid gør i XL Bog end ikke fuldt ud den Brug af Postulaterne i I. Bog, som netop vilde komme Begyndelsen af Stereometrien til Gode. I I. Bog udtaler Postu- laterne, særlig 1., 2. og 5., nemlig de Egenskaber ved Planens rette Linier, hvortil den geometriske Undersøgelse knyttes; men netop ved at Talen er om Linier i samme Plan, uden hvilket Post. 5. endog er meningsløst, bliver det ogsaa virkelige geometriske Egenskaber ved Planen, som de udtrykker, medens den ved Ordene taou udtrykte Definition (1,7.) som den tilsvarende Definition paa en ret Linie kun peger hen paa, at der gives Flader, som man kan kalde plane. Naar det nævnte og i Virkeligheden allerede i I. Bog underforstaaede Synspunkt fastholdes, vil I. Post. 1. og 2. overflødiggøre XI. Sætning 1., som udsiger, at en ret Linie, der delvis ligger i en Plan, helt maa ligge deri, og samtidig give simple Begrundelser af XL, 2. og 3., som udsiger, at to rette Linier, der skærer hinanden i et Punkt, ligger i en Plan, og at to Planers Skæringslinie er ret. Euklid’s Bevis for Sætning XI, 1. er derimod ligefrem bygget paa XI, 2., idel der antages tegnet en Cirkel i en Plan gennem to rette Linier, som skærer hinanden, og denne Plans Existens be- vises ved 2. Omvendt benyttes Sætning 1. i Beviset for 2., saa (ler foreligger cl virkeligt Cirkelbevis. Selv om Euklid kunde være kommen ud over disse Sæt- ninger ved en Henvisning til Plangeometriens Postulater, er dog som bekendt endnu et Postulat nødigt for fuldt ud at karakterisere Planer, nemlig at to Planer ikke kan have et Punkt fælles uden al have flere (der ifølge de plangeometriske Postu- later da maa ligge paa en ret Linie); men dette medtager Euklid ikke. I øvrigt benyttes som i Plangeometrien Konstruktioner til Beviser for Existensen af de beskrevne Figurer. Ved Hjælp af den i XI, 1.—3. beviste Bestemmelse af en Plan ved at skulle gaa gennem to hinanden skærende rette Linier bygges disse Konstruktioner paa de i Plangeometrien opstillede Postulater. Den Omstændighed, at de ikke skal udføres praktisk, men blot deres Mulighed godtgøres, stemmer ganske med Opfattelsen af Euklid’s geometriske Konstruktioner som Existensbeviser. 1 ilstrækkeligheden al de torud i 20. og 21. opstillede nødvendige Betingelser for