Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

326 XIV. Kapitel. 128 vilde kunne anvendes, naar Flytningen kan ombyttes med en Konstruktion af den paagældende Figur paa et nyt Sted. Den paastaaede Ligestorhed af alle den nye Figurs Dele med den oprindeliges kommer da til at bero paa, at Figuren paa dens Beliggenhed nær bliver fuldkommen bestemt ved de Stykker, der opgives al være ligestore. Det er denne Entydighed, som bevises ved „Alm. Begreber“. Det er overensstemmende hermed, at Euklid overhovedet ikke indfører Begrebet kon- gruent i dets nuværende Betydning, nemlig som Betegnelse for Figurer, der ved Flytning kan bringes til Dækning. Det stemmer ogsaa hermed, at han heller ikke i Planen skelner mellem saadanne Figurer, som allerede ved Forskydning i Pla- nen kan bringes til Dækning, og saadanne, hvor endnu en Omlægning er nødvendig, en Forskel,’ der, naar man som Euklid vil behandle Plangeometrien ganske selv- stændig uden at gaa udenfor Planen, er ligesaa betydningsfuld som den mellem Kongruens og Symmetri i Rummet. Han bruger kun, at det med Hensyn til den søgte Ligestorhed af Figurers enkelte Dele er ligegyldigt, om en Figur skal kon- strueres til den ene eller anden Side af en opgiven fast Linie, p a og at dette derfor end ikke behøver at siges. / \ Hvorledes Euklid ved samme Betragtning kan paavise Lige- storhed mellem Størrelser i Rummel paa en Maade, der ganske I \ stemmer med den, hvorpaa han gør det i Planen, kan bedst ' \ \ \ ses af hans Behandling af tresidede Hjørner. Hans Sætning \ i \ j XI, 23. indeholder, som allerede bemærket hans Bestemmelse af \ I / et saadant ved tre Sider, som tilfredsstiller de i 20. og 21. nævnte \ \ / / M nødvendige Betingelser. Konstruktionen udføres ved, al der paa de tre Vinkler, som skal være Hjørnets Sider, afsættes indbyr- •3 des ligestore Ben, hvis Størrelse vi vil kalde a. Af Grundlini- Fig. 14. erne i de derved bestemte ligebenede Trekanter kan da (Fig. 14) konstrueres en, ifølge I, 8., paa Beliggenheden nær fuldkom- men bestemt Trekant LMA. I Centret af dennes omskrevne Cirkel X oprejses der- næst en Linie vinkelret paa dens Plan. Idet de Hjørnets Sider paalagte Betingelser medfører, aL Radius r i denne Cirkel er mindre end a, kan man paa den nævnte vinkelrette afsætte XP=VcP— r'1, og Hjørnet P vil da netop have de opgivne Sider. Ser man bort fra den fuldkommen vilkaarlige Beliggenhed af Trekanten og fra, om Punktet P tages paa den ene eller anden Side af Planen ALM, giver denne Konstruktion en entydig Bestemmelse af Hjørnet. Paa denne Entydighed maa der lægges stor Vægt, skønt Euklid ikke fremhæver den, thi den giver det eneste Grund- lag for Rigtigheden af hans Anvendelse af Sætningen. I 26. konstruerer han saa- ledes et tresidet Hjørne med givet Toppunkt, en given Kant (og en gennem denne gaaende Sideflade), som er „ligt“ (^) med et givet tresidet Hjørne, og til at be- grunde denne „Lighed“ af det konstruerede Hjørne med det givne lindes der hos ham intet andet end netop den i 23. udførte Konstruktion og den Omstændighed, at denne under de givne Forudsætninger om det fri Valg af Beliggenheden, der- under frit Valg mellem symmetriske Beliggenheder af P, er entydig. Det er ogsaa