Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

129 Stereometrien. 327 kun ad denne Vej, at man faar klar Besked om, hvad Euklid mener med den her paastaaede „Lighed“. Den vil i Virkeligheden omfatte Ligestorheden af alle „Flyt- ningsinvarianter“, naar Flytning udvides paa saadan Maade, at den indbefatler Om- bytning af en Figur med en dermed symmetrisk. Hjørnernes Lighed vil da ind- befatte ej blot den forudsatte Lighed mellem Hjørnets Sider, men ogsaa Ligheden mellem dets Toplansvinkler. Saadanne Vinkler defineres i XI. Def. 6; men Euklid nævner dem ikke særlig i 26. Forstaaet saaledes er den omtalte „Lighed“ virkelig bevist ved Entydigheden af Konstruktionen 23., idet man nok tør antage, at Euklid, der i I. Bog stiltiende har antaget Muligheden af en Flytning i Planen (se S. 72 (270)), ogsaa stiltiende antager den i Rummet samtidig med, at Begrebet Flytning udvides ved deri at indbefatte en Ombytning med den symmetriske Figur. Begge Steder er det ved en Konstruktion, at den blot som mulig forudsatte Flytning virkeliggøres. Den her nævnte Udvidelse stemmer i Virkeligheden ganske med de rationelle Principer, som Euklid bestandig følger. Der gives jo nemlig intet Middel, hvorved man paa Forhaand kan karakterisere den ene af to symmetriske geometriske Figurer, som ikke ogsaa vilde passe paa den anden; først naar man har valgt den ene, kan man karakterisere Forskellen mellem en dermed kongruent og en dermed symme- trisk Figur. Først naar man i det foreliggende Tilfælde har valgt den ene Side af Planen ALM, kan man derved skelne mellem „den samme“ og „den modsatte“ Side. Paa Forhaand gives der altsaa intet Middel, hvorved man kan sige om det Hjørne, man i 23. vil konstruere, skal være det ene eller det andet af de to indbyrdes sym- metriske Hjørner, der kan bestemmes, og Euklid, der netop vil have det rationelle Irem, det, der kan udtrykkes i Ord *), føler sig bundet til ikke at lægge mere Vægt paa denne Forskel end paa den, der kan hidrøre fra de forskellige mulige Belig- genheder af Trekant LMA, der, naar ikke mere er givet, heller ikke kan beskrives i Ord. Bag efter kunde han dog have tilføjet, at man faar to forskellige Hjørner, der ikke kan bringes til Dækning ved mekanisk Flytning. En Forklaring heraf burde ogsaa findes i en i moderne Forstand elementær Fremstilling; men dertil finder Euklid ingen Anledning, netop fordi han ikke vil tale om mekanisk Flyt- ning. Det er de absolute Bestemmelser, Euklid vil have frem, og det er ikke absolut, men kun relativt i Forhold til hinanden, at man kan skelne mellem Beskrivelsen af Lo symmetriske Figurers Egenskaber, ligesom ogsaa Stedbestemmelser i Rummet er relative. Derfor nævner han i Rummet ligesaa lidt kongruente som symmetriske Figurer, ja synes endog at sætte en Ære i at kunne undgaa det og at kunne be- handle saadanne Figurer under et. Det er altsaa ad den samme Vej som i Plangeometrien, at Euklid har kun- net paavise Ligestorhed i Stereometrien. Denne Vej er endog bleven væsentlig for- kortet ved Anvendelse af del, som allerede var opnaaet i Plangeometrien. I denne maatte han benytte „Almindelige Begreber“ 7. og 8. til i Sætning I, 4. at bevise *) At det er denne Omstændighed, der i Euklid’s Fremstilling har fjernet Forskellen mellem kon- gruente og symmetriske Figurer, liar ogsaa Prof. Juel fremhævet i en Samtale herom. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, I. 5. 43