Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

328 XIV. Kapitel. 130 Entydigheden af en Konstruktion, som han først senere var i Stand til at udføre. I Stereometrien derimod fremgaar Entydigheden af den Konstruktion, som her nærmest svarer til Konstruktionen af en flyttet Vinkel, nemlig den af et Hjørne med givne Sider, af det i Plangeometrien beviste, særlig af I, 4., hvor de „Alminde- lige Begreber“ allerede er anvendte, og han fritages saaledes nu for al vise tilbage til disse. Den Omstændighed, at Behandlingen derved bliver mindre udførlig, for- bunden med nogen Mangel paa Udtryk for den niere almindelige Synsmaade, som paa en Gang skal omfatte kongruente og symmetriske Figurer, har imidlertid givet Plads for nogen Uvished om Rækkevidden af hans Paastande, saaledes om Omfanget af det udefinerede Begreb: „Lighed“ af Hjørner. Dette træder saaledes frem i en Bemærkning af R. Simson, som Heiberg tiltræder i sin Udgave af Euklid (IL Bd., S. 81, Note 2), nemlig at Euklid intetsteds har bevist den i XI, 26. benyttede Paa- stand, at tresidede Hjørner med samme Sider er „lige“. Dette Savn maa vistnok gaa ud paa, at del ikke ved at lægge det ene Hjørne over paa det andet er bevist, at Hjørnerne er kongruente. I det Tilfælde, hvor Hjørnerne ikke bliver symme- triske, vil Beviset herfor kunne opnaas ved de samme Betragtninger som den af os paastaaede Entydighed; men til et saadant Paalægningsbevis kunde Euklid ikke indskrænke sig, dels fordi han vil undgaa mekanisk Flytning, dels fordi der saa intet Hensyn toges til den anden Mulighed, nemlig at Hjørnerne kan være symme- triske. Det er Bestræbelserne efter at tage begge disse Hensyn, som noget har dækket over den Bevisførelse, som 23. i Virkeligheden rummer. Jeg fastholder saaledes, at Euklid ikke har overset den fra Kongruens forskel- lige Symmetri. For tresidede Hjørners Vedkommende eller lor den dermed ens- gældende Behandling af sfæriske Trekanter træder dette endnu tydeligere frem i Menelaos’ alt nævnte mere indgaaende Undersøgelser af delte Emne. Udtalelserne passer ligegodt paa kongruente og symmetriske Trekanter, idet der som i Euklid 1,4. blot siges, at Trekanter, der har visse Stykker ligestore, ogsaa maa have de øvrige Stykker ligestore. Og i Beviserne undgaas alle .Operationer, der ikke lige- saa vel kan passe paa symmetriske som paa kongruente Trekanter. Herpaa gør Bjørnbo opmærksom i sit anførte Skrift (se særlig S. 32). Naar man har fundet ud af, hvad Euklid mener med den „Lighed“, som skal finde Sled mellem to tresidede Hjørner, der har samme Sider, og som allsaa er enten kongruente eller symmetriske, og hvorledes han kan mene at have bevist den ved Konstruktionen i 23., vilde man ikke linde det urimeligt, om han var vedblevet al anvende den samme Behandlingsmaade paa Størrelse og Form af Legemer. Efter at have konstrueret tresidede Hjørner vilde han med Lethed have kunnet konstruere en tresidet Pyramide f. Ex. med tre givne Sideflader, og denne Konstruktions En- tydighed, fraset Forskelle i Beliggenhed og Symmetriforskel, vilde lier være ligesaa indlysende som i 23. for Hjørnernes Vedkommende. Dernæst kunde alle Polyedre sammensættes af tresidede Pyramider. En saadan Fremstilling vilde være elemen- tær i samme Forstand som I. Bog og fraset Manglen paa en formel Definition have den Soliditet, som de gamle krævede af „Elementer“.