Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

131 Stereometrien. 329 Euklid liar derimod faaet Skrupler ved ogsaa at skulle behandle Legemer, der jo i Modsætning til Hjørner virkelig har en Størrelse, uden at give dette Be- greb en udtrykkelig Definition. Af Hensyn til, at han ikke alene vil gaa ud fra, at kongruente Legemer er ligestore og ligedannede, men ogsaa fra, at symmetriske Legemer skal være (let i den Betydning, hvori han tager disse Begreber, maa han nemlig have anset en Henvisning til I. Aim. Begr. 7. for utilstrækkelig. Han har imidlertid paa flere Maader været uheldig med den Definition, som han har op- stillet, nemlig XI., Def. 10.: Ligestore og ligedannede Polyedre er saadanne, som indesluttes af ligemange, ligestore og ligedannede Sideflader. Dermed sigter jeg dog ikke til, at der lages flere Betingelser med end nødvendigt. Som ogsaa Aristoteles fremhæver, skal Definitionen jo kun sige, hvad det definerede er; men det skal bevises (eller postuleres), al det er. Der risikeres altsaa ikke noget ved at give for mange Kendetegn; thi først i Existensbeviset skal det sikres, at de Legemer, der har det tilstrækkelige Antal Kendetegn, ogsaa har de øvrige, som opstilles. Heller ikke skal jeg dvæle ved, at der ikke udtrykkelig siges, at den indbyrdes Ordning af disse Sideflader skal være den samme, saavidt den kan udtrykkes i Ord (hvad der ikke udelukker, at den kan være symmetrisk tilsvarende). Værre er det, at Euklid benytter den formelle Frihed, som Brugen af en De- finition giver ham, til at skaffe sig Lettelser, som maa efterlade el Savn hos Læse- ren. Legendre har bemærket1), at her ikke foreligger en Definition, men en Sæt- ning, som kræver et Bevis. Hertil kan siges, at en Sætning ikke kan opstilles, naar der ikke for Polyedre foreligger en bestemt og utvetydig Forklaring paa, hvad ligestore og ligedannede Polyedre er, som ogsaa omfatter symmetriske Polyedre. Disse har Euklid ment at maatte tage med i Definitionen, da han vistnok ikke har set, hvad der nu er bekendt, at Ligestorheden af symmetriske Legemer kan bevises, naar Ligestorheden af kongruente Legemer er indrømmet. Naar han nu har følt sig forpligtet til al opstille en særlig Definition for Polyedres Ligestorhed, har han anset sig for ligesaa fri, som da han i Plangeometrien opstillede særlige Definitioner paa Ligedannethed af retlinede og krumlinede Figurer (se S. 91 (289)). De intuitive Forestillinger, som helst skulde tilfredsstilles ved Opstillingen af saadanne Defini- tioner, som giver Begreber anvendte paa forskellige Figurer samme Navn, gør han ikke Rede for — det $ør man i del hele ikke i den rationelle Behandling — og da mener han i sin Definition at kunne bruge saadanne Kendetegn, som han selv anser for tilstrækkelige, og som tillige er lette at lægge til Grund ved forekommende Anvendelser. Han vilde have haft lettere ved at faa Læserne til at godkende hans Definition, hvis han først havde bevist, at Hjørnerne i et Polyeder med ligestore og ligedannede Sideflader er, hvad han i 26. har kaldt „lige“, og at Toplanvink- lerne saaledes er ligestore; naar mindst et Hjørne paa hver Kant er tresidet, vil dette kunne bevises ved Sætning 23. Værst er det dog, at denne Sætning, der maatte i) Angaaende de Bemærkninger, som i Tidens Løb er gjort til den foreliggende Definition, kan henvises til Heath III S. 265 f. 43 *