Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

330 XIV. Kapitel. 132 være en nødvendig Betingelse for at kalde Polyedrene ligedannede, ikke altid er rigtig, og at Polyedrene da heller ikke kan kaldes ligestore. Som Exempel herpaa næv- ner R. Simson Polyedre, der er dannede som Sum eller Differens af to Pyramider paa samme Grundflade (Differens i det Tilfælde, at de begge ligger paa samme Side af denne). For at nævne et Polyeder, som ogsaa Euklid senere behandler, kunde man af et regulært Ikosaeder danne et andet med samme Sideflader ved at lade den Pyramide, der til Sideflader har de 5, som ligger om samme Hjørne, gaa indad. Disse Exempler viser, at heller ikke Formen af en Definition tilsteder hvilke- somhelst Friheder. En Definition maa ikke komme i Strid med andre af de op- stillede Forudsætninger, men vilde her komme i Strid med I, Aim. Begreb 8., at en Del er mindre end det hele. Man har villet undskylde Euklid med, at lian her kun skulde tale om konvexe Polyedre, og Cauchy har ført et Bevis for „Defini- tionens“ Brugbarlied i dette Tilfælde; men dels nævner Euklid ikke denne Ind- skrænkning, dels tyder intet paa, at Euklid har kunnet føre et saadant Bevis for, at Hjørnerne i det Tilfælde bliver „lige“ eller Toplansvinklerne ligestore. Dette kan han vel, og endog meget let, i alle de Tilfælde, som han virkelig behandler; men det er en let købt og, som det har vist sig, uægte Pynt, naar Euklid har udstrakt sin Definition til at skulle gælde alle Polyedre uden at prøve, om de nødvendige Betingelser herfor er tilstede, med samme Omhu, som han vilde have anvendt, hvis Talen havde været om en Sætning, som skulde bevises. At delle, saavidt man ved, har kunnet gaa upaatalt hen i Oldtiden, da saa mange store Mathematikere byggede paa Euklid, maa bero paa, at man i Virkeligheden kun har behandlet denne De- finition som en Pynt, som ikke brugtes udover saadanne Tilfælde som dem, hvor Euklid selv anvender den, og hvor den paastaaede Ligestorhed ikke efterlader nogen Tvivl. I Følelsen af den Tryghed, hvormed man med fuldeste Ret i Almindelighed kunde bygge paa Euklid, gav man sig ikke til at prøve, om han havde Ret i at udstrække en saadan enkelt Paastand ud over det Omraade, hvor man gjorde virkelig Brug deraf. I saadanne Undtagelsestilfælde som dem, vi har nævnt, vilde man ikke tænke paa at anvende hans Definition paa det ukonvexe Legeme, men betragte dette som en Differens mellem to konvexe. Og selv den, der bemærkede Manglen paa Overensstemmelse med lians Definitions Ordlyd, vilde saa mene, at denne kun skulde gælde konvexe Legemer, og for disses Vedkommende stole paa Euklid uden nøjere at prøve lians Paastand. Hvad her er sagt om ligestore og ligedannede Polyedre, gælder ogsaa om De- finition 9. paa ligedannede Polyedre. Særlig skal vi blot fremhæve, at ogsaa Lige- dannethed hos Euklid maa omfatte baade, hvad vi nu kalder Ligedannethed, og hvad vi kalder symmetrisk Ligedannethed. Anmærkning om Brug af Fortegn. Endnu skal jeg tilføje, at der er nogen Overensstemmelse med den her omtalte Mangel paa Skelnen mellem Kongruens og Symmetri og Manglen af Fortegn hos de gamle. Som nys bemærket vilde der være ligesaa megen Grund som i Rummet til ogsaa i Planen at medtage den nævnte