Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

T ~ . - ry * t n 133 Stereometrien. 331 Skelnen, naar man dog ikke vil bruge Flytninger og mindst saadanne, hvor en Figur maatte lages ud af sin Plan. Ved den geometriske Fremstilling af algebraiske For- hold er det tilsvarende ved Operationer med én Dimension en Skelnen mellem de to Retninger paa en ret Linie ved et Fortegn — eller noget, som svarer hertil. Ogsaa denne Skelnen er imidlertid underkastet den samme Relativitet som den mellem Kongruens og Symmetri; hvilken Retning der skal være positiv eller negativ, beror fra først af paa et Valg, og ikke blot saadanne Valg undlader Euklid, men ogsaa det af Enhed, som undgaas ved overalt at operere med Forhold, og det af et fast Begyndelsespunkt for Liniestykker (Abscisser), hvorfor et Liniestykke betegnes ved begge sine Endepunkter. Euklid har sikkert endog sal Pris paa den derved opstaaede formelle Almindelighed, saaledes at Sætninger og Beviser under et omfatter Figurer, som vi vilde kalde kongruente og symmetriske. løvrigt maa bemærkes, at det at træffe de nævnte Valg heller ikke paa langt nær vilde være af den Betydning for den Algebra, der bruger geometriske Symboler, som for den, der bruger litterale Betegnelser for Slørreiser og Operationer. Kan der end saaledes være andre gode Grunde til at prise den nuværende Symboliks overordentlige Fordele, maa man ikke dertil føje Brugen af en bestemt Enhed, af el fast Begyndelsespunkt og af Fortegn eller af Begrebet Symmetri, som yderligere Fortrin, men som Fordele, der er bievne særlig betydningsfulde for den, der bruger den litterale Symbolik. I de enkelte Tilfælde kan det for den, der bruger den geometriske Symbolik, endog bringe Fordele ikke at have truffet disse Valg. Vi har saaledes S. 56 (254) set, at Gnomonfiguren ikke alene udtrykker det samme som vor Formel for (a -j- by, baade naar a og b har samme, og naar de har modsat For- tegn, men tillige det, som vi udtrykker ved Formlen a2— b2 = (ab) (a— b). Paa den anden Side maa det indrømmes, at noget, der svarer til al regne Størrelser med Fortegn, paa flere Steder vilde have sparet de gamle for en Udstykning i for- skellige Sætninger; det vilde f. Ex. have tilladt dem at behandle del elliptiske og det hyperbolske Fladeanlæg under et. Kap. XV. Euklid og hans Elementer. Den Tid ligger ikke langt tilbage, da man kaldte Euklid Geometriens Fader og dermed forbandt den Forestilling, at paa nogle Undtagelser nær, som allerede Pythagoras havde opdaget, baade den geometriske Viden og den rationelle Be- grundelse deraf, som vi finder i Euklid’s Elementer, i det væsentlige skulde skyldes liam. Dette var en uhyre Undervurdering af del Tankearbejde, som har været nød-