Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

338 XVI. Kapitel. 140 tionerne selv maattet indøves i de Skikkelser, hvorunder de leitest og bedst an- vendtes paa Euklid’s egen Tid og af ham selv, saaledes som f. Ex. de Fladeanlæg, han bruger i X. Bog. Ad saadan Vej forstaas det Præg, som Euklid’s Elementer satte paa den al exa n (1 ri n ske Skole, og den Andel, som de har i de Fremskridt, der skyldes de Mænd, som udgik af denne eller sluttede sig til den eller dog væsent- lig var paavirkede af den. Her maa skelnes mellem Undersøgelser, der allerede var begyndte, da Elementerne blev til, og hvis Fremme man allerede havde for Øje ved deres Udarbejdelse, og saadanne som gjaldt helt nye Spørgsmaal, til hvilke Skolens Principer først maatte tilpasses for at komme til fuld Anvendelse. Til de første hører de, der behandler Keglesnitslæren. I nøje Tilslutning til Behandlingen af Ligninger af anden Grad ved Fladeanlæg stod Bestræbelserne for paa lignende Maade at løse Opgaver, der afhænger af Ligninger af tredie Grad. De først fremtrædende Hovedexempler herpaa er Terningens Multiplikation og Vink- lens Tredeling, altsaa de samme to Opgaver, hvortil man i det XVI. Aarhundrede viste, at alle Tredjegradsligninger kan føres tilbage. Den første kunde man sikkert tidlig løse tilnærmelsesvis ved en mere eller mindre godt gennemført Kubikrods- uddragning, naar Opgaven forelaa numerisk; men det gjaldt om at faa en Løsning, der, ligesom Kvadratrodsuddragningens Omdannelse til Konstruktion af en Mellem- proportional eller til Anvendelse af den pythagoreiske Sætning, ved sin geometrisk vel definerede Skikkelse kunde betragtes som fuldt almindelig og skikket til al give exakte Existensbeviser. Det var vel ikke svært at faa en til den plane Fremstilling af Algebraen af 2. Grad svarende stereometrisk Fremstilling af en Algebra af 3, Grad, nemlig ved Parallelepipeder og Kuber; paa denne er Fremstillingen af den rent kubiske Ligning som Terningens Multiplikation det første, men ingenlunde eneste Exempel (se f. Ex. Heiberg’s 2. Udgave af Archimedes III S. 136 ff.). Stort videre end til Ligningernes Fremstilling kom man dog ikke ad denne Vej. Archytas’ stereometriske Løsning var nemlig ikke egnet til videre Anvendelse, og ved Brug af Keglesnit spiller den stereometriske Fremstilling af disse Kurver som Snit i Keg- ler kun en Rolle som Bevis for deres Existens, men baade deres videre Under- søgelse og deres Anvendelse som saakaldte „rumlige“ Steder til Løsning af „rum- lige“ Opgaver er knyttet til plangeometriske Undersøgelser, altsaa til et Omraade, hvormed man forud var langt mere fortrolig end med Stereometrien. Den plangeometriske Behandling af Opgaven om Terningens Fordobling hæn- ger sammen med dens Omdannelse til den at bestemme lo Mellemproportionaler. Den knyttes derved (se S. 40 (238)) til Skæring mellem de to Kurver, der i ret- vinklede Koordinater fremstilles ved Ligningerne xy = ab, if = bx. El Bevis for disse Kurvers Existens faas ved deres Fremstilling som plane Snit i rette cirkulære Kegler, og paa denne Maade stilledes ogsaa andre Keglesnit til Raadighed for Løs- ning af andre Opgaver, der afhænger af Ligninger af 3. eller endog af 4. Grad. Netop paa Grund af denne tjenende Stilling, som Keglesnittene skulde indlage over- for et Øjemed, som vi nærmest kan kalde algebraisk, bekymrede man sig foreløbig ikke om den stereometriske Bestemmelse af alle mulige plane Snit i alle cirkulære