Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

141 Euklid’s Elementers Skæbne. 339 Kegler, men holdl sig foreløbig til Fremstilling af de paagældende Kurver som Snit i rette cirkulære Kegler ved Planer vinkelrette paa en Frembringer, og dette ligger til Grund for de Navne: Snit i en spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet Kegle, som man anvendte for Ellipse, Parabel og Hyperbel, indtil Apollonios indførte disse sidste Navne. At det ikke var fra stereometriske Vanskeligheder, at denne Begrænsning hidrørte, ser man hos Archimedes, der, naar han har Brug for det, behandler ogsaa andre Snit i andre cirkulære Kegler, og tilmed gør dette i Hen- hold til Betragtninger, som ingenlunde betegnes som nye. Det ligger nær at antage, at man ogsaa før ham kan have undersøgt Snit i del mindste i andre rette cirku- lære Kegler og netop paa Grund af, at man derved ikke kom til andre Kurver, har nøjedes med den Fremstilling af Keglesnit, som man ansaa for den simpleste. (Se særlig Kap. XXI i „Keglesnitslæren i Oldtiden“). Det var imidlertid den plangeometriske Fremstilling af Kurverne, der fortrins- vis interesserede Grækerne, som vi ser hos Apollonios, der i sin Behandling af Keglesnittenes Elementer holder sig til den, saasnart han ad stereometrisk Vej har sikret Kurvernes Existens. Som vi ser hos Archimedes, var denne plangeometriske Fremstilling ogsaa før Apollonios den, som man ofte i Nutiden betegner som Apollonios’ Sætning, der for Ellipse og Hyperbel gaar ud paa, at Forholdet er konstant, naar y er Ordinaten til et Punkt af Kurven henført til Axen xxt som Abscisseaxe, x og xr denne Ordinats Fodpunkts Afstande fra Kurvens Top- punkter. Hertil knyttedes altsaa de fortsalte Undersøgelser. Allerede Archimedes kendte den samme Fremstillings Gyldighed, naar Axen var en vilkaarlig Diameter, der skærer Kurven, y Halvdelen af en af denne halveret Korde. Paa denne Maade almindeliggjorde man ogsaa de Opgaver, som man kunde løse ved Kurverne, Al- inindeliggørelser, hvorpaa allerede Euklid maa have lagt Vægt, da allerede han har beskæftiget sig med del saakaldte Sted til tre eller fire Linier. En samlet Behandling af Keglesniltenes Elementer er os dog kun bevaret hos Apollonios i de 4 første Bøger af hans Keglesnit1). Disse er affattede efter de samme Principer som Euklid’s Elementer og paa dette videregaaende Omraade med samme Formaal. Deres strengt videnskabelige Karakter sikres ved, al Bevi- serne helt igennem støttes paa, hvad der er bevist eller udtrykkelig forudsat i Eu- klid’s Elementer. Som Euklid i Elementerne ikke giver nærmere Anvisning, f. Ex. paa den praktiske Brug af Fladeanlæg, lægger Apollonios i de nævnte Bøger ikke an paa at give Meddelelse om de Anvendelser, man kan gøre af Læren om Kegle- snit, navnlig til Løsning af rumlige Opgaver. Det er selve denne Lære, som skal fremstilles i sin fulde theoretiske Sammenhæng for derefter at kunne danne el paa- lideligt Grundlag for saadanne Anvendelser. Dette træder særlig tydelig frem i, hvad Apollonios i sine Fortaler siger om tredie Bog, nemlig ikke, at den inde- Ved hvad jeg her siger om dette Værk, kan jeg henvise til den udførlige Skildring og Forkla- ring af hele dets Indhold og dettes Enkeltheder, som findes i min: Keglesnitslæren i Oldtiden.