Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

340 XVI. Kapitel. 142 holder Bestemmelsen af „rumlige“ Steder og Løsningen af „rumlige“ Opgaver, men derimod, at den indeholder Beviser for de Sætninger (Elementer), hvoraf saadanne paa paalidelig Maade kan „sammensættes“. Han nævner endog udtrykkelig et Exempel paa geometriske Steder, nemlig „Stederne til Lre eller lire Linier“ (se S. 30 (228) Anni.), hvis „Synthese“ man tidligere havde bygget paa utilstrækkelige Elementer, men som han nu gav et tilstrækkeligt og paalideligt Grundlag. Selve denne Syn- these af disse eller de andre „rumlige“ Steder og Opgaver, hvortil Bogen kan og skal anvendes, finder han derimod ikke her Anledning til at give. En saadan har hørt andetsteds hen, saaledes til Værker som Aristaios: Rumlige Steder. Andre Behandlinger af saadanne Opgaver, for hvilke de fire første Bøger danner det viden- skabelige Grundlag, giver Apollonios selv i sine følgende Bøger, særlig i V. Bog og ifølge Fortalen til VII. Bog i den tabte VIII. Bog. For at gøre dette Grundlag saa fuldstændigt som muligt giver ogsaa Apollo- nios sine Elementer, som Euklid sine, en almindelig Form, uden at dvæle ved de mere specielle Former, med hvilke det kan være hensigtsmæssigt al nøjes ved de Anvendelser, for hvilke der er mest Brug. Og her er det, at han gaar helt tilbage til det stereometriske Udgangspunkt, og ikke nøjes med de ældre Fremstillinger soin saadanne plane Snit i Kegler, der kan være tilstrækkelige til at frembringe alle de paagældende plane Kurver, men ogsaa giver den almindeligste Fremstilling af disse Kurver som vilkaarlige Snit i cirkulære Kegler. For ret at forstaa Apollonios’ Keglesnit er det imidlertid ikke nok at kunne se, at han paa det overordentlig store Omraade, som han behandler, virkelig har naaet de Forinaal, som han sætter sig. Hvis en Nutidslæser vil trænge ind i hans Værk ved en Gennemlæsning Sætning for Sætning uden paa noget Punkt at ly til de Genveje, som Algebra og analytisk Geometri kan yde ham selv, vil lian staa overfor et Arbejde, som sikkert har afskrække! mange, og hvis han dog gennem- fører Læsningen, vil han let savne de Overblik, uden hvilke man ikke føler nogen rigtig Tilfredsstillelse ved Læsningen. Hans Beundring for Apollonios, som har kunnet finde og bevise saa mange forskelligartede Sætninger, vil maaske vokse, men i Virkeligheden vil han forblive ganske kold og uforstaaende, saa længe han ikke kommer paa Spor efter de Hjælpemidler, som ogsaa et Geni som Apollonios be- høver for at naa saa langt og vinde de Overblik, uden hvilke de vundne Resultater vikle komme til at bære et Præg af Tilfældighed. Fortrolighed med saadanne Hjælpemidler maa ogsaa forudsættes hos Apollonios’ oprindelige Læsere. Ved min Læsning af Apollonios har jeg ment at finde disse Hjælpemidler i den geome- triske Algebra, hvis Hovedsætninger bevises af Euklid, men med hvilken de alexandrinske Mathematikere maa have vundet en langt større Fortrolighed, end Nutidslæsere af Euklid, der udelukkende ser paa disse i almindeliggjort Form frem- satte Sætninger, ofte er tilbøjelige til at tillægge dem. Del er Tegn paa denne For- trolighed, jeg i nærværende Skrift har søgt at eftervise allerede i selve Euklid’s Elementer, f. Ex. i X. Bog. Den tør imidlertid være yderligere udviklet i den alexandrinske Skole, ikke mindst under sin Anvendelse paa Udviklingen af Kegle-