Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

143 Euklid’s Elementers Skæbne. 341 * snitslæren, og i Apollonios’ egen Haand under Udarbejdelsen af hans Værk, der efterhaanden forelagdes hans Disciple i noget forskellige Udgaver. Den Nøgle, som jeg saaledes mente at have til en virkelig Forstaaelse af Apol- lonios, laa det ikke fjernt at prøve, og det viste sig, at den lukker op overalt. De Bestemmelser af Keglesnittene, som man gik ud fra, er som nævnt de selv samme, som udtrykkes ved de Ligninger, hvorved man nu henfører Kurverne til ret- eller skævvinklede Koordinater. Denne Fremstilling lagdes forøvrigt nær ved den geo- metriske Algebras Brug af Rektangler eller i de almindeliggjorte Former af Pa- rallelogrammer1); denne gav f. Ex. umiddelbart Ligningen xy = ab for en af de Kurver, der bruges til Bestemmelsen af to Mellemproportionaler. Derved føres man til i de geometriske Omdannelser, hvorved Apollonios i sit Værk kommer til nye Fremstillinger al Keglesniltene eller udleder Sætninger af saadanne Fremstillinger, at genkende de samme Operationer, som vi nu udtrykker i vort algebraiske Tegn- sprog. Forskellen i Fremstillingsmidler, og ikke mindst Tilknytningen af de geo- metrisk-algebraiske Hjælpefigurer ti] selve den geometriske Figur, som er Under- søgelsens nærmeste Genstand, kan vel hidføre Afvigelser mellem de Veje, som den gamle geometriske Algebra følger, og dem, der falder Nutidslæseren naturligst; men Overensstemmelsen er dog bestandig saa stor, at for Nutidslæseren en Omskrivning til det algebraiske Tegnsprog, med hvis Brug han paa sin Side er fortrolig, vil være det bedste Middel til at følge de Tankeforbindelser, som har kunnet lede Apollonios og været forstaaelige for Læsere, der har haft en tilsvarende Fortrolig- hed med de af ham benyttede geometrisk-algebraiske Hjælpemidler. Som det ses af Fortalen til Heiberg’s Udgave af Apollonios, har man endog benyttet Kvadrater, Rektangler og andre Figurer, løsrevne fra den Figur, som udgør den foreliggende Undersøgelses Genstand, og ordnede paa en Maade, der skal udtrykke deres Pro- portionalitet, til i en Slags Tegnsprog at give de Beviser, som i Apollonios’ egent- lige Tekst udtrykkes i Ord, en overskueligere og kortere Fremstilling, som nøje dækker Tekstens Fremstilling. EL saadant Hjælpemiddel har paa en Gang ligget nær og gjort god Nytte som Ledsager af en mundtlig Fremstilling. Apollonios’ Tilknytning til Euklid’s Elementer viser sig altsaa ikke alene deri, at han overalt søger den logiske Støtte i disse og følger de samme Principer, men ogsaa deri, at hans Keglesnitselementer vidner om en fortsat Brug og videre Udvikling af de Færdigheder, som man allerede maa have haft nødig for at faa del fulde Udbytte af Euklid’s Værk. Det er gennem mit Studium af Apollonios, at jeg for mit Vedkommende først har lært at vurdere disse Hjælpemidler og de gamles store Herredømme over deres rette og hensigtsmæssige Anvendelse. ’) I „Note sur l’usage des coordonnées dans l’antiquité, et sur l’invention de eet instrument“ Vid. Selsk. Oversigt 1888 har jeg tillige vist, hvorledes Fermat s Koordinatgeometri fremkaldtes af de meget almindelige Bestemmelser af en ret Linie og af en Cirkel, som er bevarede af Apollonios’ „Plane Steder“. Denne Tilslutning tyder paa, at der ogsaa paa dette Punkt — paa den græske Anvendelse af geometrisk-algebraisk Fremstilling nær — har været Overensstemmelse mellem Apollonios’ Hjælpemidler og den analytiske Geometri.