Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

342 XVI. Kapitel. 144 Naar den euklidiske Geometri kunde danne et saa godt og et saa umiddelbart * Udgangspunkt for den videre Behandling af Keglesnitslæren, beror dette paa, at de af Euklid strengt beviste Sætninger ogsaa omfatter dem, der ligger til Grund fol- den geometriske Algebras Operationer. Disse kunde man derfor indøve og videre anvende med fuld Tillid til Exaktheden af de derved vundne Resultater. Det samme gjaldt Anvendelser af Proportioner, idet de Sætninger, hvorpaa disse Anvendelser beror, i Euklid V. var beviste i deres fulde Almindelighed. Her var altsaa Paa- lideligheden af selve Operationsmaterialet bevist. Saaledes forholdt det sig derimod ikke med de infinitesimale Sætninger, hvis Rigtighed bevises i Euklid XII. Her- føres kvin exakte Beviser for Resultater, der forud var fundne ved intuitive Grænse- overgange. Beviserne var tilmed saadanne, som nok kunde give Anvisning paa, hvorledes nye Resultater af samme Art skulde bevises, naar man først havde fun- det dem, men anviste ikke Veje til at finde saadanne. Hermed stemmer det, at man, som et Sted hos Archimedes (Heiberg II. Bd. S. 264) synes at vise, overhovedet ikke før hans Tid var naaet til andre Resultater af denne Art end netop dem, som Euklid beviser. Naar Archimedes selv naar langt videre paa delte Omraade, er det, som vi nu kan se af hans nyfundne Epho- dos, først opnaaet ved Betragtninger af mere eller mindre intuitiv Art — eller dog saadanne, hvis Gyldighed ikke var bygget paa de euklidiske Principer — nemlig for en stor Del ved Laan fra statiske Sætninger, som endnu ikke var dragne ind under Omraadet af den som exakt anerkendte geometriske Bevisførelse. Efter at have fun- det Sætningerne har Archimedes imidlertid selv givet Bevis for de af ham fundne infinitesimale Sætninger, som helt igennem er byggede paa den euklidiske Geometri og fuldt ud stemmer med de alexandrinske Fordringer. Dertil har nye Postulater været nødvendige, som definerer de Begreber, hvortil de nye Bestemmelser knytter sig. Af disse er de, der tjener til Bestemmelse af Begrebet: en plan krum Linies Længde, Udvidelser til krumme Linier af, hvad Euklid har bevist i Sæt- ningerne I, 20. og 21. om brudte Linier (se S. 76 (274)), og de tilsvarende Bestem- melser af Begrebet: en krum Flades Areal, er Udvidelser heraf. Archimedes be- viser ogsaa almindelige Hjælpesætninger, som kan anvendes og af Archimedes er anvendte ved indbyrdes ganske forskellige Infinitesimalbestemmelser, nemlig saa- danne, som i deres Anvendelser er ensgældende med dem, vi udtrykker ved • 1 Cæ xdx = ^x2 og \ x2dx = -æ3. I 2 VQ O Ogsaa selve de statiske Sætninger, som Archimedes efter sin Meddelelse i Ephodos i saa rigt Maal har anvendt til at finde de infinitesimale geometriske Sæt- ninger, har han i sine statiske Skrifter underkastet en Behandling efter de Prin- ciper, der ligger til Grund for den euklidiske og dertil knyttede alexandrinske Ma- thematik, At dette er sket, efter at han havde gjort de her nævnte geometriske Anvendelser, og vel endogsaa efter at han har skrevet Ephodos, kan man bl. a. slutte af, al han i Fortalen til dette Skrift tager Afstand fra at betragte Anvendelsen af statiske Sætninger som (exakt-geometriske) Beviser. Desuden er del Omraade, som