Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

147 Euklid’s Elementers Skæbne. 345 til Løsning af de i dette Brev stillede Opgaver, ved vi ikke; de Snarer, han lægger ved de lo tilsendte urigtige Sætninger (om Emner, som han dog selv ikke da fuld- stændig havde undersøgt) kunde tyde paa, at tidligere Meddelelser fra lians Side kan have givet ham Anledning til bitre Erfaringer. Naar Archimedes atter i Indledningen til Skriftet om Spiralerne vender til- bage til sit Savn af Konon, hvem de stillede Opgaver og Meddelelsen af ubeviste Sætninger sikkert vilde have givet saa mange gode Impulser, hvis han havde levet længe nok, behøves herved ikke særlig at tænkes paa de til Konon meddelte Sæt- ninger om Spiraler, for hvis Beviser han først nu gør Rede. Savnet udtales jo i Forbindelse med alle de i Brevet omtalte Emner, som han netop rekapitulerer i Indledningen til delte Skrift. Han kan saaledes tænke paa Kuglen ligesom i Indled- ningen til Skriftet om Kuglen og Cylinderen eller paa Konoider. Meddelelsen til Konon indeholder dog tillige Hovedsætningerne om Spiralerne, og da ikke ogsaa disse kan være fundne ved hans mekaniske Methode, har han vistnok allerede den Gang brugt de førnævnte integrallignende Bestemmelser, selv om han først i Skrif- tel om Spiralerne har givet dem en exakt Formulering og Begrundelse. De samme Operationer har han haft Brug for i de geometriske Beviser for de lidligere ved den mekaniske Methode fundne Sætninger om Konoider og Sfæroider. For Sætningen om Omdrejningsparaboloidens Volumen har han vistnok allerede be- siddet et rent geometrisk Bevis, da han i sin Tid meddelte den til Konon. Der- imod ser man af Begyndelsen af Fortalen til Skriftet om Konoider og Sfæroider, der sendtes Lil Alexandria senere end det om Spiralerne, at han havde holdt det tilbage, fordi han vilde have niere med, nemlig de ham ligeledes ad mekanisk Vej bekendte Sætninger om Hyperboloider og Ellipsoider. Disse, hvad der lier maa sige: deres exakte geometriske Beviser, har nemlig voldt ham en Del Vanskelig- heder (I 246,7). Naar vi bemærker, at Bestemmelsen af Rumfang af deres Seg- menter beror paa Integrationer af Formen (px 4- qx2) dx, og Archimedes allerede i Skriftet om Spiraler havde vidst at udføre saadanne, som afhænger af og kan delle vække nogen Forundring; men af selve Skriftet om Konoider og Sfæroider ser vi, hvorledes de Former, hvorunder Bestemmelserne frembyder sig trods den iøjnefaldende Overensstemmelse med Integration, dog ikke umiddelbart giver de Forbindelser, som Fremstillingen ved Integraler nu giver os Anvisning paa 1). Hvad her er sagt, giver en Forestilling om, hvor stort et Arbejde der var for- nødent for at naa fra den ad mekanisk Vej erhvervede Viden om de vigtigste Sæt- ninger oin Parabelsegment, Kuglen og Konoider og Sfæroider til den elegante Gen- nemførelse af de exakte geometriske Beviser, med hvilke Archimedes forelægger dem i en Fremstilling, der slutter sig nøje til den euklidiske Geometri. Denne Udarbejdelse har da ogsaa krævet Tid; thi i Fortalen til Skriftet om Spiralerne ’) Herom gives nærmere Oplysninger i Keglesnitslæren i Oldtiden. XX. Afsnit. 45'