Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

346 XVI. Kapitel. 148 (11,2,13) siger han, at der ved dette Skrifts Fremkomst var gaaet mange Aar siden Konon’s Død, et Tidsrum, som kun udgør en Del af det, som den nævnte Udar- bejdelse har krævet. Denne Udarbejdelse har da ogsaa omfattet to Ting, nemlig dels en Udstyk- ning af den Størrelse (Areal eller Rumfang), som det gjaldt om at bestemme, i Dele, der danner en konvergent uendelig Kvotientrække eller en summabcl Sum af uendelig smaa Størrelser (Integral), dels en exakt Begrundelse af disse Summa- tioner uden direkte Brug af uendelig Deling, men vel en Deling i tilstrække- lig mange Dele, til at Sætningen kan bevises ved en reductio ad absurdum. Del første har maattet foretages paa forskellig Maade for de forskellige Spørgsmaal, og samtidig maalte Archimedes finde de til de foreliggende Opgaver tjenlige Sum- mationer (Integrationer). Heri har den egentlige Vanskelighed ligget; men at Ar- chimedes har holdt den endelige Udarbejdelse i den krævede exakte Form ud her- fra, kan man se af den Maade, hvorpaa han i Ephodos gør dette i det mindste ved den af de i dette Skrift behandlede nye Opgaver, om hvilken tilstrækkeligt er be- varet i det af Heiberg fundne Manuskript. Foruden at føre til de interessante nye Sætninger er Skriftets For- maal jo nemlig at vise den mekaniske Fremgangsmaade, ved hvilken han ogsaa har fundet sine ældre Sætninger; ved da tillige at vise, hvorledes han naar til en exakt geometrisk Begrundelse af de nye Sætninger, oplyser han ogsaa, hvorledes han for de ældre Sætningers Ved- kommende har kunnet gaa over fra den mekaniske Be- grundelse til den exakt geometriske. Nu ser vi ham i Ephodos først i 12. og 13. (II, S. 484 ff.) anvende sin mekani- ske Methode til al finde Rumfanget af en Cylinderhov, begrænset af en Halvcirkel en paa denne staaende ret Cylinderflade og en Plan gennem den Halvcirklen be- grænsende Diameter: naar Halvcirklens Radius er a, og Planen paa den Frembringer i Cylinderen, som ligger længst fra Diameteren, afskærer Stykket b, bliver dette Rum- fang Trediedelen %a2b af Prismet med Højden b og med det Halvcirklen omskrevne Rektangel 2a. a til Grundflade. Det bedste Overblik over, hvorledes Archimedes dernæst i 14. forbereder og i 15. gennemfører det exakte geometriske Bevis, faas ved en Sammenligning med den moderne Bestemmelse af Rumfanget v ved Inte- gralet Her er (Fig. 15) den givne Diameter 2a tagen til Abscisseaxe i et retvinklet Koordinat- system. Det ved Abscissen x bestemte Snit i Cylinderhoven er da (a~—x2j. Denne algebraiske Bestemmelse har Archimedes udtrykt under geometrisk Form . r t ved at tegne Parablen y = a — , som har Diameteren til Korde og samme Top-