Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

149 Euklid’s Elementers Skæbne. 347 punkt som Halvcirklen. Snittet i Cylinderhoven bliver da ’ by, eller som Archi- medes siger: denne Trekant forholder sig til den Trekant | ab, som paa samme Plan afskæres ved cl tresidel Prisme a2b med Grundfladen lab og Højden 2 a, som Parabelordinaten y til a. Da i denne Proportions Forhold Efterleddene er kon- stante, kan Archimedes derpaa anvende Sætning 1. i Skriftet om Konoider og Sfæroider, som han tillige paany anfører som forudkendt Hjælpesætning i Ephodos (II S. 434), og deraf slutte, at Summen af alle Snittene i Cylinderhoven, det er den i,a 1 Størrelse, vi kalder \ -bydx, eller selve Cylinderhoven forholder sig til Summen af alle Snittene i Prismet, der er delte selv eller a2b, som alle Parabelordinaterne ydx], altsaa Parabelsegmentet, forholder sig til alle Ordinaterne a eller Rekt- anglet 2d2. Da nu Archimedes tidligere har fundet, at Parabelsegmentet er to Tre- diedele af dette Rektangel, kan han derved bestemme Cylinderhovens Rumfang. Den Maade, hvorpaa han anvender sin paa to Steder anførte Hjælpesætning, falder ganske sammen med en Anvendelse af Cavallieri’s Sætning, hvilken denne betragter som intuitivt indlysende uden noget Bevis, og endnu Leibniz begyn- der med at bruge den samme uklare Betegnelse af et Areal eller Integral som Sum af alle Ordinaler eller \ zj. Archimedes ser imidlertid i denne Udvidelse til uende- lig mange Led ikke et Bevis, men et intuitivt Hjælpemiddel til at finde det Resul- tat, hvis Bevis han dernæst bringer i fuld Overensstemmelse med den eudoxiske Bevisførelse, som krævedes i Tilslutning til Euklid’s Anvendelser af denne. Derved bruger han vel den samme Hjælpesætning, men anvender den nu kun paa de ende- lige Antal af Figurer, indskrevne i og omskrevne om de Skiver og Strimler, hvori parallele Snit deler Cylinderhoven og Parabelsegmentet Paa denne Maade kunde man have bevist Cavallieri’s almindelige Sætning og dernæst umiddelbart anvendt denne; men som sine Forgængere nøjes Archi- medes med i hvert enkelt Tilfælde at føre det nøjagtige Bevis for den netop foreliggende Sætning. Det er el saadant Bevis, som han i Ephodos 15. har ført for Sætningen om Cylinderhoven. Dette træder klart frem trods store Lakuner i det foreliggende Manuskript. Hvad der er bevaret, stemmer nemlig saa nøje med den sædvanlige Form for en saadan Bevisførelse, at Lakunerne i Hovedsagen kunde lade sig udfylde næsten ordret. Del er saaledes ikke blot den oprindelige mekaniske Udledelse af en stor Del af de vigtigste Resultater, der fremsættes i Archimedes’ forskellige tidligere Skrifter, som vi lærer al kende gennem Ephodos; men Fremstillingen i dette Skrifts nye Un- dersøgelse af Cylinderhoven er tillige Paradigma paa den Udviklingsrække, som ogsaa andre Emner maa have været underkastede, inden han har fremstillet dem som fuldt beviste i sine øvrige Skrifter. Efterat han ad mekanisk Vej har fundet dem, vil lian ogsaa have opsøgt en saadan infinitesimal Udledelse, som var egnet til al omdannes til den exakte Bevisførelse, som han i disse Skrifter alene forelæg-