Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

348 XVI. Kapitel. 150 ger sine Læsere. I Skriftet om Konoider og Sfæroider, hvori han benytter samme Hjælpesætning som i Ephodos, har han kunnet anvende den ganske som her, nemlig først under mere intuitiv Form til infinitesimale Beviser, som har tjent ham selv til Vejledning og dernæst under den paafølgende Udarbejdelse af de exakte Be- viser, som Skriftet selv indeholder. Under lidt andre Former vil Beviserne i de andre Bøger være forberedt ved en foreløbig infinitesimal Betragtning. Dette ligger iøvrigt i Tingens Natur; men Ephodos bekræfter, hvad man kunde slutte af denne. Ved saa udførlig at dvæle ved Archimedes og hans Forhold til den euklidi- ske Bevisførelse har jeg paa den ene Side tilfredsstillet en Trang til her at benytte de Oplysninger, som Ephodos har givet os, paa en fuldstændigere Maade, end dette var muligt, da jeg endnu ikke kendte Ephodos’ kronologiske Plads blandt de af Ar- chimedes udgivne Skrifter. Paa den anden Side oplyser den fra en ny Side den Overgang fra intuitiv Tilegnelse til rationel Begrundelse, som udgør Hovedemnet for nærværende Arbejde. Paa det nu betragtede Omraade ser vi dog hele denne Vej tilbagelagt af en enkelt Mand, Archimedes. Ogsaa paa et andet Omraade har den euklidisk-alexandrinske Geometri vist sig egnet til at oplage andre Emner end dem, for hvilke den oprindelig var bestemt, nemlig ved Dannelsen af Trigonometrien som Hjælpevidenskab til Astronomien. Denne var, som vi har set, som Sfærik gaaet forud for den egentlige Geometri i Behandlingen af vigtige stereometriske Spørgsmaal, men det er en Selvfølge, at Geometriens Udvikling og Tilføjelsen af en med tilsvarende Omhu behandlet Stereo- metri, saavel som den perspektiviske Anvendelse af Kegler til Fremstilling af de for Plangeometrien og dens algebraiske Anvendelser saa vigtige Keglesnit ogsaa maalle komme Sfæriken og Dannelsen af Hypotheser om Himmellegemers Bevæ- gelse til Gode. Det er da ogsaa store Geometre som Eudoxos og Apollonios, der i disse Henseender spiller Hovedrollen. Men ved Siden heraf tilførtes der efter den alexandrinske Tids Begyndelse den astronomiske Bestem melseskunst et helt nyt Omraade, da man med den tidligere indirekte Bestemmelse af Vinkler ved Forhold mellem Linier, fremstillede ved Projektioner og andre geometriske Konstruktioner, forbandt direkte Vinkelmaalinger. Disses Fremstilling i Grader, Minuler og Sekun- der viser deres østerlandske Oprindelse. Nu gjaldt det om at beregne Tal, som udtrykker disses Forbindelse med de Forhold, man tidligere anvendte, først og frem- mest Kordetavler. Her maatte Geometrien yde sin Bistand. At denne ifølge den Udvikling, som Euklid havde givet den, kun indeholder de aldeles præcise Sæt- ninger, medens Kordeberegningen kun kan ske med Tilnærmelse, kunde ikke være nogen Hindring herfor, da man ved Siden heraf i Logistiken og Metretiken lærte at anvende de geometriske Sætninger ogsaa paa Spørgsmaal, der kun kunde be- svares tilnærmelsesvis. At man ogsaa kunde give denne Anvendelse en aldeles exakt Form, havde Archimedes vist ved sine Beviser for, at Længden af en Cirkel- periferi ligger mellem præcist opstillede Grænser, og hans Exempel ser vi Ptole- maios følge i sin Kordeberegning. Nu stilledes der imidlertid Krav til en langt større Frihed i den numeriske Beregning, og at Grækernes egen Regnekunst ikke