Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

356 XVI. Kapitel. 158 særlig „Cavallieki’s Sætning“ allerede for ham var et Gennemgangsled til en Begrun- delse, der tilfredsstillede ham som mere exakt. De Krav, som han saaledes stillede, og som tolkedes af Mænd som Maurolycus, blev fuldstændig forstaaet af Fermat, der bevarede den geometriske Form af Kvadraturer, ikke som et blot Hjælpemiddel til Anskuelighed, men som Vej til exakt Begrundelse. Lejlighedsvis gennemførte han den ved en exakt Grænseovergang, og i den Henseende fulgte Pascal o. II. hans Exempel. Naar endvidere Mænd som Huygens og Newton viste en saa stor Forkærlighed for geometriske Begrundelser efter gammel græsk Mønster var det ingenlunde et formelt Liebhaveri, men en Viden om netop deri at linde det sikrest opførte Grundlag for en fuldt paalidelig Opførelse af deres egne nye Bygninger. Endnu Leibnitz henviste til, at de ved Brug af hans nye Algorithmer fundne Re- sultater kunde bevises exakt ved den antike Form for Grænseovergang (Exhaus- tionsbevis). Ved Laan fra den euklidiske Geometri og Anvisning paa den græske Bevis- førelse havde man saaledes dels sikret sig Almengyldigheden af de fra først af til Regning med rationale Tal knyttede moderne algebraiske Operationer, dels erkendt et Middel til at prøve Resultaterne af de nydannede infinitesimale Operationer. Saasnart man følte sig tryg paa dette Punkt, lod man sig imidlertid i det XVIII. Aarhundrede rive hen af disse Methoders egen store Frugtbarhed uden at sætte dem i Forbindelse med dette nedarvede Kontrolmiddel, og foreløbig uden al sælle noget andet i Stedet. Samtidig vedblev man dog i Euklid’s Geometri at se del bedste Grundlag for et Studium idet mindste af Geometrien i snævrere Forstand; men det maatte svække Overblikket over det hele Værks Sammenhæng, al der var Dele af det i dette tilsigtede, som man nu tilegnede sig ad helt andre Veje end dem, som Euklid vil give et sikkert Grundlag. Tilbage blev Beundringen af de sikre Former for de enkelte Beviser, som f. Ex. lagde sig for Dagen i Wolff’s Anvendelse af disse i sin Filosofi. Derved opretholdtes de Fordringer, som man siden Platon, Aristoteles og Euklid stillede til en virkelig rationel Begrundelse, og den Tid maatte komme, da man ikke kunde nøjes med en Henvisning — som man dog ikke fulgte — til fra et andet Omraade at søge Sikkerhed for Almen- gyldigheden af de algebraiske Operationer, eller med en forlængst glemt Henvis- ning til, at man kunde anvende de gamles Principer til enkeltvis at sikre de ved Infinitesimalmethoderne fundne Resultater. Foreløbig fandt man snarere Sikker- heden for disse i den indre Sammenhæng mellem den rige Fylde af de ved Me- thoderne vundne Resultater („læs videre — et la foi vous viendra“!). I det XIX. Aar- hundrede har man derimod indenfor Algebraen selv søgt og fundet Sikkerheden fol- dens Almengyldighed og skaffet sig det samme sikre Grundlag for Differential- og Integralregning og uendelige Rækker. Efter Tingenes egen Natur maatte de an- vendte Principer være de samme, som de gamle anvendte i deres Proportionslære og i de enkelte af dem foretagne Grænseovergange; derfor har vi ogsaa i vore Forklaringer heraf i XI. Kap. kunnet henvise til lignende Betragtninger i Nu- tiden. Disse er vel meget langt fra at være bevidste Efterligninger af dem, man