Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

159 Euklid’s Elementers Skæbne. 357 kunde finde hos de gamle Forfattere; men de er bievne til i Hænderne paa Mænd, der havde tilegnet sig del Begreb om Kravet til mathematisk Exaklhed, som først er gjort gældende al de gamle Grækere og forplantet til os ved Euklid og dem, der er gaaet videre ad de af ham anviste Veje. Overensstemmelsen med antike Betraglningsmaader blev dog ikke straks be- mærket af de Mænd, der paa denne Maade konstruerede en sikker Underbygning for de fra det XVIII. Aarhundrede overleverede algebraiske og infinitesimale Methoden Man har vistnok ofte anset de endnu tidligere Forgængere for delagtige i disses Svagheder og fra Anvendelsen af geometriske Anskueliggørelser af Differential- og Integralregning sluttet, at den antike Geometri heller ikke bragte mere end en saa- dan. Dette kan have været Tilfældet ogsaa med liere af dem, som nu søgte et so- lidere Grundlag lor selve Geometrien, og som ikke allid bemærkede, i hvilken Grad deres interessante Undersøgelser var Skridt videre paa Baner, som Euklid med fald Bevidsthed havde betraadt. Jeg har flere Steder berørt, al de, som det var al vente, paa mange Punkter er kommen videre og har fremdraget Forudsætninger, som Euklid har anvendt uden udtrykkelig at opstille dem som saadanne. Her skal jeg særlig fremhæve, at man har ført den Analyse, hvorved Platon’s Elever søgte at naa de mest oprindelige Forudsætninger, endnu længere tilbage end Euklid. Det er en hel Række Forudsætninger, som han er naaet tilbage til og har opstillet i sine Postulater og tildels i sine Definitioner som Udgangspunkter for sin Lære; men for at den derpaa byggede Geometri virkelig skal være mulig, er det nødvendigt, at disse lade sig forlige indbyrdes. Sikkerheden herfor har Euklid egentlig kun deri, al det er ved Analyse af den empiriske Geometri, der som empirisk maa være mulig, at han er kommen til dem. Deres Mulighed lader sig imidlertid godtgøre, naar man gaar ud fra el endnu længere tilbageliggende Udgangspunkt. Et saadant har man i det moderne almindelige Talbegreb (der da ikke som i Euklid’s V. Bog maa udledes geometrisk). Ved Kombination af lo saadanne Tal som Koordinater og Anvendelse af den analytiske Geometris Bestemmelse af rette Linier og Cirkler danner man det, som Hjelmslev i en Artikel i Nyt Tidsskrift for Mathematik 1917, A, S. 1, kalder den „arithmetiske“ Plan. For denne gækler de euklidiske Postulater, som altsaa lader sig forene indbyrdes. Den saalcdes bestemte „arithmetiske“ Plan- geometri, og paa lignende Maade en arithmetisk Stereometri, falder altsaa logisk sammen med den euklidiske og kan opbygges af de euklidiske Postulater (med nogle Supplementer). Hjelmslev’s egen „Geometri“ er derimod empirisk, men strengt empirisk, idel man holder sig til de Erfaringer, som kan kontrolleres. Det, som vi nys og i Kap. VIII kaldte den empiriske Geometri, og hvoraf den euklidiske er dannet ved den Analyse, for hvilken vi i dette Skrift har gjort Rede, var derimod bygget paa ukontrollerede Erfaringer, hvis Grænser man havde overskredet ved intuitive Interpolationer og Extrapolationer. Den „arithmetiske“ Geometri er en ra- tionel Udførelse af disse Udvidelser af del empiriske Omraade. Indtil for 100 Aar siden var Euklid’s Elementer næsten overalt den brugelige Lærebog i „elementær“ Geometri og er endnu enkelte Steder vedbleven at være