Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

358 XVI. Kapitel. 160 det. Med den strengt videnskabelige Karakter, som vi lier saa stærkt har frem- hævet, har den dog ikke kunnet forene de pædagogiske Hensyn, som blev nødven- dige, naar den skulde bruges til i en forholdsvis ung Alder at give alle, der gør Fordring paa nogen Dannelse, de nødvendige Forestillinger om Geometrien og dens Anvendelse. Man satte vel med Rette Pris paa den Indførelse i klar logisk Tænk- ning og Udtryksmaade, som traadte frem i de enkelte Sætninger og Beviser, men for at faa de unge Elever med maatte man slaa af paa den Sammenhæng i Tanke- gangen, som vi i dette Skrift har stræbt at fremhæve. Denne Sammenhæng for-’ styrredes ogsaa ved, at man ikke mere havde nogen Interesse af at fremdrage del, som Euklid behandler af Hensyn til en Algebra, som nu har faaet en hell anden Skikkelse og derfor maa læres efter andre Bøger. I Stedet for at se hen til de Veje, ad hvilke Euklid i I. Bog stræber at undgaa Paavisning af Kongruens ved Figurflytning, kunde man ikke undgaa i denne Anskueliggørelse at se den simpie- ste Vej til de i denne Bog fundne Resultater. Dette har sikkert været det bedste pædagogiske Middel til at faa Flertallet af unge Elever med; men hvortil tjente da Euklid’s i Kap. VIII omtalte omhyggelige Ordning, der havde andre Maal for Øje? Den blev uforstaaelig og kunde kun hindre Overblikket over saadanne Sæt- ninger, der som de forskellige Sætninger om Trekanters Kongruens er spredt om- kring paa de Steder, hvor Euklid ad sin Vej naar at bevise dem. Der kunde heller ikke være noget tilfredsstillende ved at lære den vidtløftige antike Proportionslære at kende, naar man ad langt lettere Vej ved algebraisk Regning kunde opnaa det samme. At de algebraiske Regningers Almengyldighed af Descartes er paavisl ved Henvisning til den i Euklid’s V. Bog paa almengyldig Maade beviste Proportionslære, glemte man snart, og da man fandt direkte Beviser for Almengyldigheden af de algebraiske Operationer, blev denne Henvisning jo virkelig overflødig. Hvad der ikke bruges, glemmes imidlertid, og derfor var del vistnok temmelig nyt for de fleste Mathematikere, da Hankel i sin Geschichte der Mathematik (1874) pegede paa den nøje Overensstemmelse mellem Euklid’s V. Bog og den exakte Bestemmelse af det moderne Talbegreb. Man har ogsaa jevnlig fundet det paafaldende, at Euklid efter den almindelige Lære om Proportioner i V. Bog i de arilhmetiske Bøger fin- der det fornødent særlig at behandle Proportioner mellem hele Tal. Man har der- ved ikke bemærket, hvor nødvendigt dette var, naar Proportionsformen skulde læg- ges til Grund for Sætningerne om hele Tals Delelighed; disse Sætninger var del allerede en stor Fortjeneste, at Euklid ikke betragter som umiddelbart indlysende, men at lian beviser dem og først derefter lægger dem til Grund for Prøven af Rod- størrelsers Rationalitet. Af disse Exempler ser man, at Brugen af Euklid som Lære- bog kunde fjerne Opmærksomheden for meget af det, som laa Euklid selv mest paa Sinde. Hvad man fik ud af hans Bog var da ofte kun saadant, som Grækerne vidste før ham, og hvortil hans udførlige Beviser saa ud som Omveje. Bedre stillede Sagerne sig dog ikke straks, da man begyndte at sætte andre Lærebøger i Stedet. I disse tog man vel andre Udgangspunkter og ændrede flere Enkeltheder; men som Maalet maatte være at lære det samme, hvortil man hidtil