Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

Ißl Euklid s Elementers Skæbne. 359 havde anvendt Euklid, laa det nær at forsøge at forbinde det nye med meget, som uforandret gik over fra Euklid, og det gamle og nye kunde ikke altid passe sam- men. Saaledes var den første som for Alvor arbejdede paa at afløse Euklid’s Ele- menter med en ny Lærebog, nemlig Legendre, næppe heldig med det nye Ud- gangspunkt, han tog ved at definere den rette Linie som den korteste Vej mellem lo af sine Punkter. Denne Definition kunde være god nok paa den Tid, da Maale- snoren var del vigtigste geometriske Redskab, og er det ogsaa nu overfor dem, der be- finder sig paa et ligesaa barnligt Standpunkt. Derimod er den for det første kun et daarligt Middel til ved Anskuelsen at afgøre, om en Linie kan betragtes som ret eller ej; thi til en Afvigelse fra den rette Linie, som er lille af første Orden svarer en Længdeforskel, som er lille af anden Orden (smlgn. S. 94 (292), Note 2). Naar endvidere Legendre’s Definition ikke danner noget Udgangspunkt for de simpleste geometriske Undersøgelser, gælder ganske vist, som vi har set, det samme om Eu- klid’s I. Def. 4, og i Virkeligheden bruger Legendre foruden intuitive Betragtnin- ger omtrent de samme Udgangspunkter som dem, Euklid udtrykkelig nævner og bruger. Disse kan imidlertid som hos Euklid bruges til at bevise, at en Side i en Trekant er mindre end Summen af de to andre, hvad der hos Legendre er den væsentligste Anvendelse, han kan gøre af sin Definition, og saaledes burde være en Sætning i Stedet for et i Definitionen indsmuglet Postulat. Hos Euklid er tilmed, som vi har set (S. 76 (274) og 144 (342)), denne Sætning I, 20 samt I, 21 Begyndelsen til den Forklaring, som Archimedes giver paa, hvad man skal forstaa ved en krum Linies Længde1)- Det er omvendt dette vanskeligere Begreb, som Legendre vil bruge til at forklare, hvad en ret Linie er. Denne Ombytning kan heller ikke i Nutiden betragtes som heldig, da dog saavel den elementære Bestemmelse af Cir- kelperiferien som Integralregningens af andre Kurvelængder knytter sig til Sammen- ligning med rette Linier som det mere bekendte. Som et Exempel paa den Forvirring, der ogsaa, hvor man ikke bruger Eu- klid’s Elementer som Lærebog, i Undervisningen kan opstaa ved Blanding mellem Laan fra Euklid og moderne Betragtningsmaader, kan jeg nævne den Maade, hvor- paa man i min Skoletid lærte Proportioner og deres Anvendelse i Geometrien. Et Korhold defineredes som en Kvotient, og der forlød intet om, hvad en saadan be- lød, naar Dividend og Divisor var inkommensurable. Det nyttede da ikke meget, al man i Geometrien sikrede sig Proportionalitet ved Beviser, hvori der toges ud- trykkeligt Hensyn til Muligheden af, at de geometriske Størrelser kunde være in- kommensurable. Ved disse Bemærkninger er det ikke min Mening at give Anvisning paa, hvor- ledes den geometriske Undervisning skal anlægges i vore Dage. Ved dels at pege ’) At Proklos (S. 11O,io) tillægger Archimedes den „Definition“ paa den rette Linie, at den er den korteste mellem sine Endepunkter, maa bero paa cn aabenbar Misforstaaclse af den helt omvendte Brug, soin Archimedes gør af denne Paastand i Indledningen til sit Skrift om Kuglen og Cylinderen. (Smlgn. min Artikel: Ueber einige archimedische Postulate i Archiv für die Geschichte der Naturwissen- schaften I (1909). D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvldensk. og mathem. Afd., 8. Række, 1. 5. 47