Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

362 Tillæg. 164 Kendskab til regulære Polyedre, har man baade i Oldtid og i Nutid ment at maatte tænke paa saadanne Konstruktioner som dem, hvormed Euklid begrunder deres Exislens. Selv har jeg været tilbøjelig til at føre Brug af Konstruktioner ved Lineal og Passer som Bevis- og Erkendelsesmiddel for langt tilbage (hvad jeg nu har op- givet ; se mine Bemærkninger om Oinopides S. 65 (263)). De samme formodede Forbindelser tages nu med ligesaa liden Berettigelse i den historiske Kritiks Tjene- ste, saaledes naar E. Sachs flere Steder, i Tilslutning til H. Vogt, finder Selvmod- sigelser i at antage Tilstedeværelsen af en mathematisk Viden paa en Tid, som man ikke vilde tillægge Kendskab til de Midler, der senere benyttedes til nærmere at begrunde den. Der advares endog S. 34 mod at tillægge Udviklingen af Geome- trien saadanne „Zicksacksprünge“. Jeg tror, at omvendt Udviklingen, navnlig fra først af, da man ikke besad Midler til at foretage en planmæssig Forskning, er gaaet ad ret bugtede og tilfældige Veje. Da har det i højere Grad, end det endnu bestandig er Tilfældet, været ad saadanne Veje, at man først er trængt ind i og er bleven hjemme paa de nye Omraader, før man deri kunde anlægge Veje, som mere sikkert og direkte fører til bestemte Maal, og som — jeg bemærker det af Hensyn til nogle Slutninger af E. Sachs, som jeg senere skal omtale — ikke fører om ad alle de Punkter af det Omraade, som Forfatterne maa have kendt for at finde de Veje, der svarer bedst til deres Hensigter. Endvidere tror jeg, at Undersøgelser af den Art, som jeg her har forelagt, vil yde en god Erstatning for den rokkede Tiltro til de historiske Meddelelser om ældre Tider, hvorpaa man tidligere byggede. Ganske vist gør Kritiken af disse del van- skeligere at henlægge bestemte mathematiske Fremskridt til bestemte Tider, Steder, Kredse og Personer; men paa den anden Side røber de Principer, som paa Pla- ton’s Tid gør sig gældende, og som ligger til Grund for Euklid’s gennemførte Be- handling, hvor højt den mathematiske Kultur allerede maatte være naaet ved Be- gyndelsen af denne Tid. Naar saaledes Theaitet finder det nødvendigt at bevise og finder Midler til at bevise, at et Primtal ikke kan gaa op i et Produkt uden at gaa op i en af Faktorerne, saa røber allerede Tvivlen om, at man i paakoinmende Tilfælde uden Bevis kan bygge paa Umuligheden heraf, en betydelig Udvikling af mathematisk Tænkning. Og naar Eudoxos finder det nødvendigt at give Begrun- delser af Sætninger om Proportioner samt infinitesimale Grænseovergange en al- mindelig og exakt Formulering, saa kan kun en foregaaende Brug af disse Hjælpe- midler, forbunden med Drøftelsen af Kontinuitetsbegrebet, have vakl Opmærksom- hed for Berettigelsen af de strenge Krav, som han fyldestgør. Heroin kan vi dømme i Nutiden, som først efter langvarig Brug af det kontinuert voksende Tal, fremstillet ved et Bogstav, og af praktiske Infmitesimalmethoder har lært at stille og fyldestgøre ligesaa strenge Krav, ja som længe har brugt Euklid’s Værk uden ret at bemærke, hvor vidt han paa sin Side er kommen i den Henseende. Naar nu baade Tiieai- tet og Eudoxos hver paa sin Maade tager Brug af Proportioner til Udgangspunkt, Theaitet, idet han giver dem en til sit, som Platon indrømmer (se S. 16 (214)), kunstmæssige Talbegreb tillempet Definition, Eudoxos, idet han definerer deres