Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

165 Tillæg. 363 Anvendelser paa geometriske, del er: kontinuert varierende Størrelser, saa tyder delte paa, al begge knytter deres exakte Bestemmelser til et gammelkendt Opera- tionsmiddel. Mængden af delvis ensformede Sætninger, som Euklid i VIL—IX. og V.—VI. knytter til disse Bestemmelser, røber ogsaa en gammel Vane til at operere med Proportioner, før man endnu kunde tage saa exakte Udgangspunkter. At det under en eller anden Form har fundet Sted, forekommer mig at fremgaa af alle Beretninger om den ældre græske, ja, om den ægyptiske Mathematik; de Midler dertil, som virkelig har foreligget, har jeg fremstillet i mit IX. Kapitel. De histori- ske Meddelelser om geometriske Proportioner og Sammenstillinger med arithme- tiske og harmoniske Proportioner, som E. Sachs henviser til (S. 129—132), kan kun vedrøre formelle Opstillinger. Del er vel ogsaa paa saadanne E. Sachs lægger Vægt, medens jeg spørger om de Hjælpemidler, som man i Realiteten havde til Raadig- hed før en saadan Opstilling. Omtalen af en saadan interesserer mig først da, naar jeg som for Theaitet’s og Eudoxos’ Vedkommende kender dens Form. Al ogsaa Pythagoras saavelsoni Thales har brugt geometriske Proportioner, slutter jeg nærmest deraf, al de ikke godt har kunnet undvære dem. Naar i delle Tilfælde diversi respectus maaske hæver Uoverensstemmelsen mel- lem E. Sachs’ Henstillinger og mine Paastande, kan man forsøge al bringe et lig- nende Forlig tilveje mellem E. Sachs’ Udtalelser i Noten S. 95—96 og mine S. 61 (259)—63 (261) om den Rolle, som Euklid’s II. Bog spiller i hans System. Efter min Opfattelse indskyder Euklid her i 1.—10. den geometriske Algebra, fordi han netop har Brug for den, medens E. Sachs synes at lade den faa sin Plads her som første Anvendelse af den pythagoreiske Sætning, der dog kun anvendes i 9.—10., tilmed kun i det simple Tilfælde, hvor den retvinklede Trekant er ligebenet. Naar imidlertid E. Sachs tilsidst fremhæver, at „die Reihenfolge, die in der Anordnung der Elemente vorliegt, nicht die historische ist“, saa er del ganske det samme, som jeg har gjort gældende her og allerede i „Mathematikens Historie“, og ogsaa jeg har da netop fremhævet (ligesom nu), at denne Omordning krævede del nye Bevis I, 47 for den pythagoreiske Sætning. De anførte Ord viser tilmed, al heller ikke E. Sachs vil lade den geometriske Algebra være en Nyskabning af Euklid. Dens lidligere Brug gav rent faktisk ingen Anledning til Skrupler ved Anvendelsen paa inkommensurable eller overhovedet paa kontinuert varierende Størrelser. Hvor tidlig man blev sig denne Fordel overfor en mere arithmetisk Behandling bevidst, derpaa giver den anførte Nole intet Svar, altsaa heller ikke et, som strider mod mine tidligere Udtalelser derom. Hvorledes baade Methoden og dens Anvendelse yderligere maatte behandles for at kunne bygges paa eukiidiske Principer, ja, det udgør jo en Del af Indholdet af nærværende Skrift. Bemærkningerne om den i II. Bog forekommende Behandling af del gyldne Snit skal jeg senere besvare. De Henstillinger i E. Sachs’ Skrift, som jeg har berørt, er dog kun fremkomne som Exempler paa den Forsigtighed, som man i det hele maa udvise overfor histo- riske Overleveringer efter hendes grundige Prøvelse af Kilderne til den, der ved- rører den fysiske Elenienllære og Læren om de fem regulære Polyedre. Som Ikke-