Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

364 Tillæg. 166 Filolog er jeg henvist til denne og maa altsaa regne med hendes Resultat, der af- viger fra de ældre Antagelser om Omfanget af Pythagoreernes Kjendskab til de regulære Polyedre, som jeg anfører S. 124 (322). Som allerede antydet paa dette Sted kan Indskrænkningen i dette Omfang dog ikke udøve nogen væsentlig Ind- flydelse paa min Betragtning af den Behandlingsmaade, som den platoniske Tid kunde faa overleveret fra den pythagoreiske, og paa denne ligger Hovedvægten i nærværende Arbejde. Jeg gaar altsaa nu ud fra, at Py tha gore erne kendte Tetraedret, Terningen og Dodekaedret, men først Theaitet tillige Oktaedret og Ikosaedret. Jeg antager ogsaa, at Kendskabet til visse Krystaller kan have ledet Opmærksomheden ikke alene hos Pythagoreerne, men ogsaa tidligere andetsteds i Italien hen paa Dodeka- edret. Saa megen videnskabelig Interesse havde Pythagoreerne dog i hvert Fald, at det tør antages at ligge i Beretningen om deres Kendskab til de tre Polyedre, at de har vist de fundne Dodekaedres Egenskaber og disses Overensstemmelse med Tetraedrets og Terningens Egenskaber nogen Opmærksomhed. Ja, man har jo endog før Pythagoreernes Tid lavet Modeller af Dodekaedre, og har disse ikke været helt raa Efterligninger af Krystallen, maa man dertil have benyttet Konstruktionsmidler af en eller anden Art. Disse kan ikke fra først af have været af samme Art som de af Euklid i XIII. Bog angivne; thi de Relationer, som derved benyttes, opdages jo først paa det færdige Polyeder — saaledes som E. Sachs med saa sikker Rum- sans S. 103 aflæser de tilsvarende paa en Tegning af det færdige Ikosaeder. Der kan ikke godt have været nogen anden Vej til den første Tilvejebringelse af Dode- kaedret end den samme, som Euklid anvender i Bogens Slutning for at bevise, al de 5 regulære Polyedre er de eneste mulige. Maaske foranlediget ved Kendskab til et krystallisk Dodekaeder vil Pythagoreerne, i deres Forsøg paa at danne et saadant og andre regulære Polyedre, paa Siderne i en regulær Polygon have tegnet nye regulære Polygoner med samme Sidetal og bøjet dem om, indtil to paa hinanden føl- gende fik en Side fælles. Gik man ud fra en ligesidet Trekant, fik man paa denne Maade et regulært Tetraeder; gik man ud fra et Kvadrat, det meste af Overfladen af en Ter- ning; gik man ud fra en regulær Femkant, den halve Overflade af et Dodekaeder. Pythagoreerne, der besad og anvendte Vinkelbegrebet, kunde ikke undgaa at be- mærke, at den nødvendige Betingelse for, at den beskrevne Lukning skulde finde Sted, var, at Summen af de tre Vinkler, som skulde danne et Hjørne, er mindre end fire Rette. Gaar man ud fra en regulær Sexkant, forbliver alle Sexkanter i samme Plan; Pythagoreerne vidste da ogsaa, at Planen kan deles i regulære Sexkanter. Delingen af Planen i regulære Trekanter og Kvadrater kendte de ogsaa; men paa den tilsvarende Udvidelse af regulære Polyedre til saadanne, hvis Hjørner er 4- eller 5-sidede, tænkte de efter E. Sachs’ Oplysninger ikke; det gjorde først Theaitet1). ’) Disse Bemærkninger i Forbindelse med, hvad jeg siger S. 125 (323), vil maaske forklare, at jeg i Kultur d. Gegenwart tillægger Pythagoreerne noget Kendskab til Sætningen om Summen af Siderne i et konvext Hjørne (smign. S. 77 Note i E. Sachs’ Skrift). Jeg siger ikke, at den er gaaet forud for Opdagelsen af de regulære Polyedre; men den blev, som det i Reglen sker, knyttet til denne som et, som det forekommer mig, uundvær-