Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

167 Tillæg. 365 Man kan bemærke, al Resultalerne paa den Maade vil blive iagttagne, men ikke beviste. Men Fastholden af saadanne Iagttagelser er nu engang den første Kilde til mathemalisk Viden. Vinkelbegrebet satte tilmed Pythagoreerne istand lil at udtale dem i Ord. Paa den Maade er deres Opdagelse af de 3 af Polyedrene en værdifuld Begyndelse paa Undersøgelsen af regulære Polyedre. At Kugler kan om- skrives om Polyedrene, vil man straks have bemærket; men først Theaitet har søgt at begrunde dette ved at søge Sammenhængen mellem Polyedrenes Kanter og den omskrevne Kugles Radius. Hvorvidt han er kommen i den Henseende, derom søger E. Sachs Oplysning ved et grundigt Studium af Euklid’s Behandling af de samme Spørgsmaal. Delte fortjener saa meget mere Paaskønnelse, som ogsaa Ma- thematikere, der dyrker deres Fags Historie, ofte forsømmer de store mathematiske Forfatteie fia Oldtiden overfor de spredte Oplysninger, som kan findes andetsteds. Naai jeg dog ikke kan fatte 1 illid til de Resultater, hvortil Forf. kommer med Hensyn lil Theaitet s Viden og de Fremskridt, der paa dette Omraade maalle skyldes Eudoxos, ja, Hermotimos, om hvem vi ved meget lidt, saa beror det paa, at hun efter mil Skøn lor lidet behandler Euklid som den selvstændige Mathema- tiker, han er, der ikke blot refererer ældre Undersøgelser, men ogsaa paa Omraader hvor han ikke har nye Resultater at meddele, benytter det vundne Herredømme over det samlede Materiale til at meddele sit Stof i den Skikkelse, som efter lians Skøn passer bedst med de Formaal, han søger at gennemføre i sit Værk. Man tør ikke tro Euklid selv uvidende om et Resultat, som vil staa til Raadighed for den, der studerer hans Værk grundig og derigennem skaffer sig Overblik over det hele Omraade, hvorigennem Euklid’s Kæde af sammenhængende Sætninger strækker sig. Dette gælder saaledes om den Sætning, at der er samme Forhold mellem Ti- kantsiden og den omskrevne Cirkels Radius som mellem Femkantsiden og Fem- kantens Diagonal. Deraf, at det er det sidste af disse Forhold, som Euklid benyt- ter, kan man i alt Fald ikke slutte sig til en Mangel paa Kendskab til det første, og førend man knytter historiske Slutninger til denne formentlige Mangel, maa man i alt Fald prøve, om Euklid’s nærmeste Formaal ikke fremmes ligesaa godt eller nok saa godt ved at bruge del første. I IV. Bog vil han vise, at man paa Grundlag af hans Postulater kan konstruere regulære Polyedre med 2n, 2n.3, 2n.5, 2".3.5 Sider. Da Halveringen af en Vinkel eller Cirkelbue allerede er bekendt, kunde lian nøjes med at konstruere en Polygon af hver Kategori; men rig, som han er paa Hjælpemidler, kan han gaa frem i den naturlige Talorden, fra Trekanter, hvor han medtager alle Trekanter med givne Vinkler, til regulære Firkanter, Fem- kantet, Sexkanter og bemtenkanler. Fra hans rent theoretiske Standpunkt, hvor det kun kommer an paa at konstatere Muligheden af de sukeessive Konstruktioner, uden at Euklid nogensinde spørger, om de saaledes opstaaende Kombinationer giver ligt Hjælpemiddel. Heller ikke E. Sachs synes at have kunnet undvære den, naar hun, med god Grund, sin i andre Henseender saa dristige Restitution af Theaitet’s Skrift med det euklidiske Bevis for, at de 5 regulære Polyedre er de eneste. Det maa nemlig være ad denne Vej, at man har kunnet opdage, at saadanne som Dodekaedret og Ikosaedret overhovedet er til.