Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

366 Tillæg. 168 de Konstruktioner, som er simplest at udføre, ligger der ingen Vægt paa, at han kunde komme lettere til Tidelingen af en allerede tegnet Cirkel end ved at gaa om ad Femkanten. I XIII. Bog benytter han de i IV. Bog fundne Resultater, som de engang foreligger, og f. Ex. i det elegante Bevis XIII, 10 kan det ikke spille nogen Rolle, om de deri benyttede Figurer er konstruerede paa den ene eller anden Maade. Hvad der i XIII. Bog fremfor alt maa tilhøre Euklid, er den synthetiske Opførelse af Polyedrene af deres Stykker. Da denne ikke gaar ud fra nogen forudgaaende Fore- stilling om deres Existens, maa den i Formen være ganske forskellig fra den Analyse, hvorved Theaitet først har fundet de derved benyttede Egenskaber, og der er ingen Grund til at tro, at Euklid har indskrænket sig til at vende denne Analyse om. Da Theaitet ikke endnu kendte de senere paa en saadan Omvending beregnede Former for Analysen, er det heller ikke sagt, at den i dette Tilfælde umiddelbart lod sig foretage. Euklid har da benyttet saadanne Hjælpemidler, som han fandt hensigtsmæssige. Pædagogisk hensigtsmæssig eller elementær i moderne Forstand kan man vel ikke her kalde den synthetiske Opbygning af Polyedre, hvorom man først faar nogen Forestilling, naar Bygningen er færdig; men den stemte med de videnskabelige Principer, hvorefter hans „Elementer“ er opbyggede. Som alt bemærket fremkalder E. Sachs’ Arbejde ogsaa Ønsker hos mig an- gaaende mit eget her foreliggende Skrift. Jeg har i dette fremhævet de med Pla- ton’s Ideer stemmende Bestræbelser for at give Fremstillingen af den alt vundne mathemaliske Viden en fuldtud rationel Skikkelse. Jeg har ogsaa nævnt de sam- tidige Mathematikere, Theaitet’s og Eudoxos’, Bidrag baade til at fremkalde og til at fremme disse Bestræbelser; men jeg har ikke tilstrækkelig paavist, hvorledes ikke alene deres egen Følelse af Logikens Krav, men ogsaa Hensynet til, hvad der kunde fremme deres egne mere positive Undersøgelser, maatte virke tilskyndende paa deres Bidrag ogsaa til den mere formelle Omdannelse og udøve nogen Ind- flydelse paa den endelige Skikkelse, som denne har antaget hos Euklid. Jeg tæn- ker herved navnlig paa deres Beskæftigelse med de regulære Polyedre, el Emne, der jo endog optræder som et Formaal for Euklid’s „Elementer“, og ikke blot, som f. Ex. den da ligeledes begyndte Keglesnitslære, som et af de Undersøgelsesfelter, for hvilke „Elementerne“ skal danne Grundlaget. Naar Theaitet, som vi antager, har begyndt sin Opdagelse af Ikosaedrel med at stille 5 ligesidede Trekanter sammen, saa de danner et femsidet Hjørne og der- med en femsidet Pyramide, og at gøre Vinkelspidserne i dennes Grundflade til lig- nende Hjørner, vil han have set, at den saaledes dannede Figur tilsidst lukkede sig til et Polyeder med 20 Sideflader. Blikket herfor, som maaske har været støttet ved Dannelse af en Model, har dog været i den Grad intuitivt, at man forstaar, at Theaitet paa dette Punkt har følt Trang til en ganske anden Begrundelse, der tillige indeholdt Beviset for Polyedrels Indskrivelighed i en Kugle. Dette kunde han opnaa ved at finde Relationen mellem en Kant og den omskrevne Kugles Ra- dius og benytte denne til en helt ny Dannelse, hvis Resultat lettere lod sig strengt bevise. Jeg har nævnt Ikosaedrel som det Legeme, hvor Trangen til en saadan