Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

169 Tillæg. 367 Bevisførelse ved geometrisk Konstruktion gjorde sig stærkt gældende; men Frem- gangsmaaden lod sig ogsaa anvende paa de andre regulære Polyedre. Den skulde, som vi har set, hos Menaichmos og Euklid blive et Hovedmiddel til paa rationel Maade at tilvejebringe ogsaa saadanne Figurer, hvis Existens man hidtil ikke havde betænkt sig paa uden videre at antage. Det geometrisk algebraiske Hjælpemiddel, som stod til Raadighed for Theaitet ved Bestemmelsen af Sammenhængen mellem Polyedrenes Kant og største Radius, var den under Form af Fladeanlæg overleverede Løsning af Ligninger af 2. Grad. Sikkert har allerede Pythagoreerne brugt den ved Konstruktion af den regulære Femkant, som de ogsaa havde Brug for ved den her beskrevne Tilvejebringelse al Dodekaedret; Beskæftigelsen med regulære Polygoner maatte gaa forud for Stu- diet al de regulære Polyedre. Den til Konstruktionen nødvendige Højdeling frem- træder i Euklid II, 11 som en umiddelbar Anvendelse af det af Pythagoreerne kendte hypeibolske Fladeanlæg og lader sig udføre ved de af dem anvendte Redskaber, altsaa uden Brug af Tegnepasser (se S. 65 (263)). Theaitet’s Undersøgelser kræ- vede dog en mere kombineret Brug af de samme algebraiske Hjælpemidler. Han kunde vel løse sin Opgave ved hver Gang at fremstille den fundne Rod i en Lig- ning ved el nyt Liniestykke og dernæst betragte det som bekendt; men derved fik man ikke noget samlet Overblik; det vilde gaa som ved Brugen af en litteral Al- gebra, hvor man vel fremstillede Størrelserne ved Bogstaver, men savnede Opera- tionstegn, særlig Kvadratrodstegn. Paa Mangelen heraf raadedes Bod dels ved en nøjeie Piæciseiing al de udførte Konstruktioner, hvortil vistnok nu særlig brugtes Lineal og Passer, dels ved en Klassifikation af de ved disse Midler efterhaanden konstruerede Størrelser. Det er denne Klassifikation, som er paabegyndt af Theai- tet og yderligere gennemført i Euklid X. De moderne Operationslegn bruges imidlertid ikke alene til at danne Udtryk for de efterhaanden fundne Størrelser; ved Regler for Regninger med saaledes frem- stillede Størrelser sælles man i Stand til at underkaste dem nye Operationer. De gamle maatte faa Brug for noget, som kunde træde i Stedet herfor, og som de i del mindste kunde anvende paa de enkelte forefaldende Undersøgelser. Ved Beregnin- ger vedrørende Dodekaeder og Ikosaeder var der Brug for Sætninger vedrørende Rødderne i Ligningen x2ax— a2 = 0 eller om de Stykker, som fremkommer ved al højdele en ret Linie. Det er en Række saadanne Sætninger, som Euklid har indskudt som 1. 5. i sin XIII. Bog. De fremtræder ligesom II, 1 —10 som Laane- sætninger, der ikke er bestemte til selv at udgøre et Led i hans systematiske Frem- stilling af Geometrien, men for hvilke han netop nu har Brug. Den Omstændig- hed, al der begge Steder er fremsat flere Sætninger end de, som han derefter virke- lig bruger, og at de iøvrigt ikke er indarbejdede i den øvrige euklidiske Sammen- hæng, tyder paa, at de er tagne ud fra en anden Sammenhæng. For dem i II. Bog har vi henvist til den all existerende, i moderne Forstand mere elementære, geo- metriske Algebra. Om dem i XIII. Bog kan jeg i Henhold til de af E. Sachs givne Oplysninger nu godt gaa ind paa, at de er tagne ud af et Skrift af Eudoxos D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, 1.5, 48