Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

368 Tillæg. 170 nepi vrjq ropqq, hvor da rop-fj skulde betyde det saakaldte „gyldne Snit“, Højdeling. Med E. Sachs (S. 97—98) antager jeg, at naar det siges, at „Eudoxos formerede Sæt- ningerne om det gyldne Snit, som var begyndt af Platon“, skyldes denne Henførelse til Platon Proklos; men jeg kan ingenlunde være enig med hende i, at dermed Udførelsen af Højdelingen tidsfæstes. Der er jo ikke en Gang Tale om Udførel- sen, men kun om Sætninger om vop-rp At dette Navn skriver sig fra den Tid, er iøvrigt rimeligt nok; det kan da hidrøre fra, at man nu benyttede Liniens Skæring med en tegnet Cirkel, hvor man tidligere brugte en Maalepasser. Derimod mener jeg, at der maa lægges en større Vægt, end jeg selv har gjort S. 36 (234), paa, at der siges, at Eudoxos anvendte den analytiske Methode ved denne og de andre nævnte algebraiske Undersøgelser. Derved kan ikke tænkes blot paa en saadan, om end fuldt bevidst, saa dog nærmest praktisk Anvendelse af denne Methode som den, hvorved man har opløst den ældre geometriske Viden i de „Elementer“, hvoraf Geometrien dernæst lod sig synthetisk opføre; men den udtrykkelige Omtale viser, at Analysen i Eudoxos’ Skrifter om disse Emner maa være traadt frem i bestemte Former. Derefter maa allerede Eudoxos have haft en væsentlig Andel i Udviklingen af disse Former, og de, som Eudoxos har an- vendt, vil endogsaa derefter være betragtede som Paradigmer. Uden saadanne vilde Formerne for Fremstilling af Analyse og Synthese ikke kunne have faaet den ufor- anderlige Fasthed, som de fik i den græske Mathematik. Disse Paradigmer, der vedrører Behandlingen af Opgaver, som afhænger af Ligninger af 2. Grad, er da bleven fuldstændiggjorte med de alt nævnte Anvendelser af Analysen paa mere spe- cielle Opgaver, som skyldes Eudoxos’ Disciple Menaichmos og Deinostratos (se S. 40 (238) og 37 (235)). Under disse Omstændigheder er det forklarligt, om Euklid i XIII, 1—5 uforandret har optaget Eudoxos’ Sætninger og Beviser, eller idet mind- ste disses Synthese; men ogsaa i dette Tilfælde er det rimeligt, at den bevarede tilsvarende Analyse ligeledes skyldes Eudoxos !). Foruden sine Undersøgelser over Rodstørrelsers Irrationalitet, hvis Betydning for den i nærværende Skrift behandlede Reform er fremhævet i vort III. Kap., og i Forbindelse med sin Klassifikation af Størrelser, hvis Udtryk i moderne Frem- stilling vilde indeholde Kvadratrodstegn, beskæftigede Theaitet saavel som Euklid i X. Bog sig ogsaa med disse sidste Størrelsers Irrationalitet; men i sig selv er deres Frem- stilling og Behandling ved geometrisk Algebra ganske uafhængig af dette theore- tiske Spørgsmaal: Fremstillingen af (2 ved Diagonalen i et Kvadrat kan bruges uaf- hængig af, om man ved, at denne Størrelse ikke kan udtrykkes nøjagtig som For- l) Den Omstændighed, som S. 95, Note 1 har forekommet E. Sachs paafaldende, og hvoraf hun vil drage vidtrækkende historiske Slutninger, bliver da ganske forklarlig. Sin Analyse har Eudoxos nemlig ikke kunnet knytte til den færdige Konstruktion, men har, som det er sket, maattet gaa til- bage til Brugen af den geometriske Algebras Rektangler og Kvadrater. Iøvrigt er det inig ikke klart, paa hvilke væsentlige Punkter E. Sachs kan mene, at den Konstruktion som Eudoxos enten maatte have kendt eller dog maatte have faaet ud af sine Sætninger, kan have afveget fra den, som findes i Euklid II, 11.