Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

Sur la réforme qu a subie la mathématique de Platon å Euclide, et gråce å laquelle elle est devenue science raisonnée. Résumé par H. G. Zeuthen. Chap. I. Sur l’étnde comparative de l’histoire des mathématiques. La réforme qui va nous occuper demande une comparaison du savoir géométrique antérieur, relevant en grande partie de l’intuition, avec la nouvelle géométrie raisonnée. Comme c’est le cas pour toutes les comparaisons servant å illustrer les progrés scientifiques, celle qui nous occupe ne devra pas se borner å faire paraitre les avantages des nouveaux points de vue et l’extension du savoir qu’ils permettent, mais s’occuper aussi de l’étendue du savoir acquis antérieurement et qui allait faire l’objet des nouvelles considérations, ainsi que de la nature et de la valeur des moyens qui avaient déjå perniis de l’acquérir. Chap. IL La mathématique science raisonnée. Des conclusions logiques partant de suppositions plus ou moins fortuites ne suffisent pas pour valoir å une science la qualification de raisonnée. Une science raisonnée doit former un entier logique ou l’on rend compte tant des points de depart que des conclusions qui conduisent å toutes les vérités particuliéres. Tel est l’idéal qu’Evclide a voulu réaliser dans ses Éléments de la Géométrie. Les définitions disent ce que sont les notions; les postu- lats affirment qu’il en existe qui ont certaines relations avec les autres notions définies. A coté des notions communes aux différentes sciences, et dont Euclide énumére celles qui servent å déflnir la grandeur des quantités et en particulier celle des quantités géomé- triques, les dites hypotheses font les points de depart des conclusions servant å constituer la théorie. Ce n’est que gråce å ces hypotheses et aux conclusions qu’on en tire successivement qu’existent les figures géométriques; les dessins qui les représentent ne servent qu’å retenir les figures idéales. Celles-ci sont done des symboles qui ne possédent que les propriétés qu’on leur a attribuées expressément, et les vérités démontrées deviennent applicables å tout domaine ou l’on a retrouvé les meines propriétés fundamentales. C’est ainsi que, dans la géométrie ((Euclide, on a symbolisé une théorie générale des quantités, une algébre géomé- trique. Malgré la difference des symboles, la géométrie (TEuclide est å eet égard le modele des mathématiques modernes et d’autres sciences exactes. Le but qu’il avait en vue pendant la composition de ses Elements, Euclide ne l’explique pas; il faut le reconnaitre par ses efforts pour le réaliser. Mais le méme but idéal avait été proposé par Platon, dont les éléves mathématiciens se mirent en devoir de l’atteindre. Les Éléments ü’Euclide contiennent le résultat final de ces efforts.