Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

173 371 Chap. III. Løs demandes adressées par PLATON a la mathématique en sa qualité do science raisonnée. La tendance théorique de la mathématique grecque avait déjå débuté par la découverte de quantités irrationnelles et s’était ensuite manifestée par les recherches qui s’y rattachaient: l’épreuve de la commensurabilité de Théodobe et son application, due å Théététe, pour décider sur la rationalité des radicaux, la représentation géométrique des quantités qu’on ne pent exprimer par des nombres. Dans son »Théététe« et dans »les Lois« Platon exprime son intérét pour ces recherches d’une nature purement théorique. Il leur doit sans doute la conviction de la possibilité d’une constitution raisonnée de la mathématique entiére telle qu’ il la préconise dans son »Etat«. Dans le livre VI de ce dialogue il rappelle la nécessité d’hypothéses for- melles et l’immatérialité des figures géométriques. Il y revient dans le livre VII, oii il s’occupe de l’éducation des jeunes gens destines au service de l’État. Il leur recommande une étude des mathématiques qui n’ait pas en vue les applications pratiques, mais (appropriation intel- lectuelle (dcd^oia). En conimenpant par l’arithmétique, il donne des notions de l’unité et du nombre des explications qui leur attribuent un sens s’appliquant uniquement å des nombres qu’il »faul penser«. Si Fon veut partager l’unité, dit-il, les mathématiciens la multiplient Cette remarque nous rappelle que, dans ses livres arithmétiques, Euclide substitue å la simple formation de fractions des operations, bien expliquées, avec des nombres entiers. Les notions en question sont les mémes cju’Evclide déflnit et applique dans son livre VII, qui contient une partie essentielle de la démonstration du théoréme de Théététe indiquant le critére de la rationalité des radicaux. Il semble done que cette demonstration ait servi å Platon de modele des exigences qu’il allait adresser å d’autres demonstrations géométriques. Ses remarques sur la géométrie plane n’ont rien de tres particulier, et il semble assez satisfait des progrés déjå fails, peut-étre sous l’influence de ses propres suggestions anté- rieures; mais il est tres mécontentde l’état de la stéréométrie, que, seion lui, on devrait cultiver avant de s’occuper, dans l’astronomie, des mouvements dans l’espace. Or, å cette époque les connaissances stéréométriques progressaient assez rapidement; il doit done faire allusion au défaut d’un expose raisonné. Chap. IV. »La méthode analytique«; »éléments«. Du temps de Platon on était déjå en possession d’une tres grande partie du savoir positif auquel conduisent' les Éléments cTEuclidb; mais ces connaissance étaient dues å un mélange plus ou moins fortuit ((intuitions et de conclusions. Quels moyens possédait-on pour en faire une totalité logique, répondant aux exigences de Platon? On a attribué å Platon (invention de la méthode analytique, quoique ses écrits ne décélent aueune connaissance des termes techniques propres å cette méthode; mais il est hors de doute que les formes servant å faire ressortir Inexactitude d’une analyse, et de la synthése qui en résulte par une inversion, ont été, en tout cas, élaborées pendant l’espace de temps qui sépare Platon ü’Euclide, lequel, dans ses Éléments, se sert des formes convenues pour la synthése et du langage stereotype et precis qui y appartient, tandis que ses Data sont déterminés å faciliter l’emploi de l’analyse. Suivant le procédé ordinaire de l’analyse, on commence par admettre comme déjå trouvé ou démontré ce qu’en réalité on se propose de trouver ou de démontrer, et on en tire ensuite les consequences jusqu’å ce qu’on arrive å quelque chose qu’on possédait déjå; dans la synthése suivante on revient sur ses pas jusqu’å ce qu’on atteigne le but proposé originairement. Tel est 1’usage que nous faisons aujourd’hui de la methode et celui dont se servait Pappus, qui en a fait la description; mais l’emploi de ce procédé suppose qu’on posséde déjå un savoir bien constate. Pour trouver, au temps de Platon, une base logique du savoir assez étendu, mais moins consolidé, qu’on possédait, il fallait employer l’analyse pour revenir des vérités composées que fournit l’intuition å des vérités de plus en plus simples jusqu’å celles qu’il était impossible de décomposer ultérieurement. Avec elles on faisait les hypo-