Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

175 373 Chap. VI. Images intuitives et primitives; aperception par la vue. Pour trouver les sources, tant psychologiques que logiques, des connaissances géomé- triques qu’on possédait avant la réforme platonicienne, il faut commencer par se demander quel- les sont les images géométriques qui se présentent le plus immédiatement comme résultats d’une combinaison inconsciente de la perception d’impressions sensibles, du souvenir de sensations antérieures et de conclusions involontaires. A ce sujet il faut consulter d’un coté les expériences psychologiques modernes, de l’autre les rapports sur les plus anciennes observations géomé- triques ou sur celles qui sont dues å des peoples se trouvant encore å un état de développe- ment primitif. On en peut tirer les regies suivantes. Les images intuitives et primitives représentent des figures toutes faites et complexes; ce n’est que par l’analyse qu’on en sépare les parties simples. On saisit les images avant de savoir les décrire. On s’est par exemple occupé de figures planes sans éprouver le besoin de dire ce que c’est qu’un plan. On conøoit une figure plane comme une totalité avant d’accorder une attention particuliére å son contour; cela ne devient nécessaire qu’å mesure qu’il s’agit de décrire la figure d’une maniére plus précise. On congoit d’assez bonne heure l’égalité de deux figures totales ou de parties d’une méme figure et la possibilité de donner å une figure une nouvelle place sans l’altérer; la conception de ce que nous appelons å présent congruence est done assez primitive. Des qu’on commence å s’occuper du contour, la con- ception d’une droite se présente immédiatement å l’esprit, et on s’occupera bientot de cercles et de distances; le cordon sert å produire des droites et des cercles et å mesurer ou å porter les distances. On reconnait immédiatement le rectangle comme un quadrilatére dont les quatre coins sont uniformes; et cette connaissance conduit å l’usage de perpendiculaires et de paralléles pour décomposer un camp en rectangles et en carrés, et ensuite aux mesurages de surfaces rectangles. On ne doutera pas de l’égalité des triangles résultant de la décomposi- tion d’un rectangle au inoyen d’une diagonale. On découvre å vue d’æil l’égalité de deux figures symétriques, ce qui conduit å la construction de perpendiculaires au inoyen du cordon. Pareillement la similitude de deux figures, ou leur égalité å l’échelle pres, détermine une image primitive qui comporte une conscience de la proportionnalité de leurs longueurs et ensuite de celle de leurs aires. Chap. VIL Deplacements de figures avant la réforme platonicienne; instruments géométriques. Les Qulbasütras indiennes, contenant des regies géométriques pour la construction ritualiste de sanctuaires, nous ofFrent l’exemple d’une géométrie tres ancienne. Aussi ces regies peuvent-elles étre obtenues par les moyens intuitifs dont nous venons de parler. Les operations se font en grande partie sur un plan décomposé en carrés. On y trouve une seule demonstration: elle établit l’égalité d’un trapeze isoscéle å un rectangle qu’on forme par le déplacement d’un triangle (voir fig. 1, p. 55 (253)). On connaissait le théoréme de Pythagore, mais l’éconsait pour les cotés d’un rectangle et sa diagonale; le triangle rectangle ne se présente qu’au moment ou on en fait usage dans une construction. On employait la figure que les Grecs ont appelé gnomon: difference de deux carrés å un angle commun, et on a méme su en faire usage pour construire (comme Euclide II, 14) un carré égal å un rectangle donné. La connaissance du gnomon explique celle de plusieurs triangles rectangles å cotés exprimables par des nombres entiers; on en a pu trouver en remarquant des gnomons con- tenant des nombres quadratiques représentant les carrés dont était composée la base des operations. On ny trouve aucune demonstration du théoréme de Pythagore; mais une ancienne table chinoise (fig. 2, p. 58 (256)) nous montre d’une maniére fort intuitionniste comment on a pu y parvenir par des déplacements de figures; aprés deux mille ans on reconnait encore la méme demonstration, appliquée å un triangle au lieu d’un rectangle, dans celle de Bhåskara (fig. 3, p. 59 (257)). Les Pythagoriciens ont fait du »théoréme de Pythagore« et du gnomon des applications