Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

176 374 semblables å celles des anciens Indiens, et ils ont fait des déplacements des rectangles et des carrés une véritable algébre géométrique comprenant méme la resolution d equations mixtes du second degré. Dans les 10 premieres propositions de son livre II Euclide substitue des constructions géométriques aux déplacements intuitifs avant d’en faire, dans les 4 derniéres propositions, les applications dont il a immédiatement besoin. Pour réaliser matériellement les déplacements on s’est servi d instruments géométriques, et tout d’abord du cordon. Les Égyptiens se sont servis aussi de regies et de gnomons solides; le dernier instrument servait soit å construire des perpendiculaires, soit å donner, sans inter- vention de la notion de l’angle, å une droite une inclinaison donnée par rapport a une droite donnée (voir fig. 5 p. 64 (262)). Les Pythagoriciens ont eu å leur disposition, pour construire les figures illustrant leur algébre géométrique, la regle, le gnomon et le conipas å mesurer. Les premieres applications du conipas å dessiner ne sont attribuées qu’å CEnopide; c’est grace å lui qu’on a obtenu l’exactitude que demandaient les dessins astronomiques. Chap. VIII. Les déplacements d’EUCLIDE. Depuis Ménechme on subst-ituait, dans la géométrie raisonnée, l’usage de postulats å celui d’instruments, et les problémes, ou constructions dependant de postulats, aux construc- tions materielles. En méme temps les »notions communes« 7 et 8 devaient servir å la com- paraison des grandeurs géométriques. On suppose alors que l’une des figures soit »appliquce« sur l’autre; mais cette application ne doit plus se faire par un déplacement materiel ou intuitif de la figure totale: il faut l’effectuer par une construction. La coincidence, entere de l’égalité, résulte alors de l’univocité, å la place pres, de la construction de la figure déplacee. Euclide realise effeetivement dans 1,2 un tcl déplacement constructif d’une droite Innitec; mais la demonstration de l’égalité de deux triangles ayant égaux un angle et les deux cotes adjacents (1,4.), ne pent plus s’effectuer de la maniére qu’on voulait rendre obligatoire. Cest pour cette raison que Hilbert a fait de cette égalité un axiome. Euclide se tire d allaii e d unc autre maniére: dans la demonstration de ce théoréme et du théoréme 1,8 il suppose 1 appli cation sans dire, ici, un mot sur la maniére dont il faut l’effectuer; il montre settlement qu une telle application suffirait pour établir la coincidence, totale en 1,4., partielle en 1,8. Ce n est qu en faisant usage de ces théorémes et aprés plusieurs détours apparents qu’EucLiDE parvient dans le probléme 23 au déplacement constructif d’un angle dont il a besoin pour réaliser 1 app i- cation supposée de la seule maniére qu’il reconnaisse. Déjå les contemporains ( „uclide lui ont reproché de donner ainsi un théoréme avant le probléme établissant 1 existence de la figure en question. Et, en réalité, Euclide n’évite pas un cercle vicieux; mais le lait que le cercle des conclusions se ferme de lui-méme assure du moins la possibililé de la supposi- tion qu’EucLiDE a faite dans ses démonstrations de 4 et 8. Ensuite les autres déplacements se font par des problémes. , 4 , Déjå du temps (TAristote on avait remarque les difficultes que presente la theone raisonnée des paralleles: elles n’ont été surmontées que plus tard par le celebre postulat 5 ((Euclide • mais comment expliquer le besoin de son postulat 4 touchant l’égalité d’angles droits? Historiquement il a pu étre substitué, comme les 3 premiers, å l’usage d’un instrument, å savoir å celui du gnomon. Cependant Euclide ne fait pas de véritable emploi du postulat, mais se borne aux constructions qu’instrumentalement on pourrait accomplir par la regle et le compas, tandis que peut-étre Ménechme se servait encore du postulat pour la construc- tion du carré, mentionnée, eile aussi, å propos de sa discussion avec Speusippe. Il serait pourtant possible de trouver un motif qui eüt pu determiner Euclide å garder ce postulat, aparemment superflu. En effet, il ne fait pas non plus d’emploi géométrique de la defini- tion 4, celle d une droite, qui a pour seul but de renvoyer å la maniére dont on forme des droites dans les arts; au lieu de cela il se sert des postulats qui demandent l’existence de droites douées de certaines propriétés géométriques: la définition 4 énonce l’identité de ces droites avec les droites empiriques idéalisées. De méme on a eu vraiment besoin d une déclaration