Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

in 375 semblable disant que les longueurs, définies par les »notions communes« et employées dans la définition 15 du cercle, sont identiques aux longueurs empiriques. En eilet, si 1’on excepte le postulat 4, la géométrie raisonnée fondée sur les autres suppositions cI’Euclide serail appli- cable å une géométrie dont les cercles sont en réalité des ellipses semblables et semblable- ment posées. Je ne dis pas qu’EucLiDE ait observé une telle possibilité; mais, sous une forme ou une autre, il a pu avoir eu un sentiment du danger anquel il s’exposerait en omettant le dit postulat, de méme qu’un juste sentiment l’a porte å éviter, par son postulat 5, les géomé- tries que nous appelons å present noneuclidiennes. Chap. IX. La similitude des figures. Le sentiment intuitif de la similitude a aniené de bonne heure des essais de déterminer le rapport d’un cercle au carré circonscrit, ou celui de la circonférence au diametre. On en trouve chez les anciens Indiens et chez les Égyptiens d’une époque ou l’on ne savait leur donner qu’une exactitude assez mince. Ils sont continués par les Grecs, ce que montrent les tentatives dans ce genre cI’Antiphon et de Bryson. Et méme pour s’expliquer qu’HiPPocRATE de Chios ait pu prendre pour points de depart de ses recherches l’identité pour tons les cercles du premier des dits rapports ainsi que la similitude de deux segments qui font les memes parts des cercles respectifs, on n’a nullement besoin de penser å des démonsti'ations de ces suppositions qui satisferaient å un éléve cTEuclide. La determination des inclinaisons par le gnomon, et celle des distances å des points inaccessible» montrent que les Égyptiens et, aprés eux, les Grecs ont fait usage de la proportion- nalité des droites de figures semblables. Sans doute, les Pythagoriciens ont étudié, aussi numériquement, des proportions, du moins dans leur musique; mais rien n’indique qu’ils en aient fait usage pour en déduire des critéres de la similitude. Au contraire, de méme que le déplacement de figures pour l’égalité, les similitudes intuitivement évidentes leur auront servi de demonstration de proportionnalités de grandeurs représentées géométriquement, et ils auront cru posséder ainsi une méthode applicable aussi aux quantités incommensurables. Alors la reforme platonicienne aura entrainc non seulement la demonstration directe et géné- rale des proportions qu’on trouve dans Eücljde, V., mais aussi l’inversion qui en fait la base de la théorie de la similitude. Toutefois le sentiment immédiat de la similitude continue å jouer un certain röle méme dans les Elements cI’Euclide. On y trouve, en effet, des definitions indépendantes entre elles de la similitude, l’une pour les segments de cercle, l’autre pour les polygones. Qu’Euglide choisisse la méme denomination dans ces deux cas dilFcrents, et que les lecteurs l’approuvent, voila ce qui doit resulter d’un sentiment intuitif et commun. C’est le meme sentiment qui a con- duit Euclide aux critéres des similitudes des différentes sortes de coniques cjii’Archimede nous a fait connaitre. Seulement Apollonius définit la similitude des différentes coniques par la proportionnalité des deux coordonnées des points des figures, définition applicable å toute sorte de figures. Chap. X. L’origine de la noiion de l’angle. Des le début de la géométrie on a connu la perpendicularité de deux droites, mais nullement la comparaison de deux angles regardés coniine grandeurs. Seuls les astronomes babyloniens en ont eu besoin, tandis que nous avons vu que les astronomes égyptiens et apres eux les Grecs y ont substitué l’usage du rapport de deux droites. C’est l’étude des figures semblables qui a porte les géométres grecs å parler (Tangles égaux, qu’ils appelaient angles »semblables«. Seion Eudéme, déjå Thalés aurait lait ainsi; quoi qu’il en soil, la formation de la notion ne s’est pas fait attendre longtemps, et elle a été suivie par la com- paraison de deux angles, leur addition, etc. La maniére dont la notion d’un angle droit était Jiée å celle d’un rectangle a montre que la somme des angles aigus d’un triangle rectangle D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, I. 5. 49