Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

est égale å un angle droit; ensuite on a établi, par la décomposition d’un triangle en deux triangles rectangles (voir fig. 12, p. 100 (298)), le théoréme sur la somme des angles d’un triangle quelconque. La démonstration qu’Evdeme attribue aux Pythagoriciens s’obtient par la méme figure si l’on y efface les trois perpendiculaires et fait usage des propriétés intuitives des , paralleles. Un contemporain cI’Aristote (probablement Theudws) a fait usage dans une démons- tration d’angles curvilignes, et encore Euclide tient compte de ces angles dans ses définitions; mais la définition V, 4. (postulat cI’Eudoxe) les exclut formellement de la théorie générale des grandeurs que contient le dit livre. Chap. XL Généralisation des demonstrations; recherches infinitesimales. Euclide a soin de s’assurer que les démonstrations embrassent tous les cas auxquels s’appliquent les énoncés des théorémes. II ne lui sufflt done pas de démontrer les propor- tions dans les cas oil les termes sont commensurables, ni d’appliquer immédiatement aux limites ce qu’on avait prouvé pour des cas qui s’y approchent indéfiniment. A ces égards on s’était contenté autrefois d’une transition intuitive å l’infini, et la representation géométri- que a augmenté la confiance qu’on croyait pouvoir accorder å une telle intuition (voir chap. IX). Toutefois déjå les paradoxes de Zénon devaient contribuer å l’ébranler, et du temps de Platon on ne pouvait plus s’en contenter. C’est Eudoxe qui a trouvé une formule permettant d’assurer la validité des résultats de telles transitions par une réduction å l’absurde. Son postulat énoncé dans Euclide V, Déf. 4, demande l’existence d’un multiple d’une quantité donnée qui en surpasse une autre. Euclide en déduit, X, 1, une autre formulation exprimant qu’en répétant la soustraction de la moitié d’une quantité, ou de plus de la moitié, on finira par trouver un reste plus petit qu’une autre quantité donnée. V, Déf. 4 est le dernier »élé- ment« d’une analyse de la transition å l’infini, et X, 1 est l’avant-dernier. V, Def. 4 fait ainsi le plus simple point de départ d’un exposé synthétique, et Archiméde s’en sert dans les démonstrations des résultats de ses recherches infinitesimales, tandis cju’Euclide et probable- ment Eudoxe se contentent de prendre X. 1 pour point de départ des leurs. Pour la généralisation des proportions, au contraire, Euclide dans son livre V, ou il suit la voie frayée par Eudoxe, se sert de V, Def. 4: en y joignant l’usage des définitions 5 et 7 il parvient å des critéres de l’égalité ou l’inégalité de deux rapports qui ressemblent å ceux de Dedekind. Cependant une remarque cI’Aristote nous montre que cette extermination a été précédée par une autre ou l’on se servait seulement de X, 1, de méme que la extermina- tion de Dedekind a été précédée de celle de Weierstrass. Aristote rappelle, en effet, une défini- tion qui fait dépendre l’égalité de deux rapports de l’identité des »antanaireses« des deux termes de chaque rapport, c’est-å-dire des nombres provenant des procédés, en général infinis, qui devaient servir å en déterminer le plus grand facteur commun, s’il y en avait, ou bien de celle des fractions continues servant å les déterminer. Euclide fait du reste, au commencement du livre X, usage du méme procédé pour éprouver la rationalité d’un rapport Chap. XII. Généralisation des énoncés; équations du second degré. Conformément aux demandes cI’Aristote, Euclide s’efforce de donner å ses énoncés la forme la plus générale possible; il étend ainsi le domaine auquel ils s’appliquent immédiate- ment. Cependant, dans les cas ou les proportions contiennent les démonstrations d’opérations qui deviennent plus simples et faciles, sans devenir moins effectives, par l’usage de figures plus particuliéres, la representation dans les Eléments cI’Euclide n’a pas été de nature a pro- pager plus tard l’emploi de ces opérations lå ou il était moins connu qu’il n’était aux contem- porains cTEuclide. Je pense en particulier å la solution ((equations du second degré sous forme d’applications d’aires. Les simples transformations qui y servent sont en réalité démontrées en II, 5 et 6; mais Euclide réserve les énoncés formels des problémes et de leurs solutions constructives jusqu’å ce que dans le livre VI il puisse leur donner une forme géométrique