Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

plus générale, dont il ne fait pourtant aucun usage. Au contraire, dans les démonstrations du livre X, auxquelles il faut renvoyer pour faire voir le véritable profit qu’EucLiDE savait tirer de ces procédés, il ne les emploie que dans les simples formes qui seraient suffisam- ment démontrées par II. 5 et 6. Aussi dans les Data 84 et 85, ou Euclide réduit des problémes algébriques å des appli- cations d’aires, il les generalise par l’emploi de parallélogrammes å un angle donné au lieu de rectangles, generalisation géométrique qui n’a aucune valeur algébrique. Malgré la méme généralisation, il faut voir, dans les Data 86, une représentation géométrique de la solution algébrique des equations xy = a, y2 — inx2 = b ■ les équations aux p. 115 (313) sq. en expriment une traduction presque immediate en langage mathématique moderne. On voit done qu’il s agit ici de la solution algébrique d’un probléme déterminé du méme genre que ceux dont Diophante nous a conservé des solutions numériques. Chap. XIII. L’idéalité des figures géométriques. L’idéalité que Platon attribue aux figures géométriques n’était pas chose nouvelle; ce qui lut nouveau c’était de l’énoncer formellement. L’abstraction caractérisait, en efFet, les premieres recherches, mais elle était alors une consequence du défaut de la faculté de diffé- rencier. Les premieres connaissances géométriques dont s’emparait l’intuition n’étaient justes que pour des figures idéales. L’analyse que les éléves de Platon y appliquaient devait done conduire aussi a des éléments idéaux: points sans extension, lignes å une seule extension etc., droites au sens exact, ne pouvant avoir, sans coincider, qu’un senl point en commun, etc. Les definitions (FEuclide ont tout Fair d’étre les résultats d’une telle analyse, ordonnés dans la suite seion les regies de la synthése. Ainsi on n’a pas besoin de rechercher des raisons historiques de ce qu’on a pris pour deux series differentes des definitions des premieres notions géométriques, å savoir d’un coté I, 1, 2, 5 et XI, 1, de l’autre I, 3, 6 et XI, 2. La derniére serie, prise en ordre inverse, indique l’analyse qui conduit de la notion de l’espace, ou du corps, a celle de la surface comme limite d’un corps etc. jusqu’au point comme limite d’une ligne; mais comme il fallait commencer la synthése par ces derniers éléments on devait pousser 1 analyse assez loin pour en avoir des critéres immédiats. On n’a trouvé que les nombres de leurs dimensions indiqués dans la premiere serie. C’est elle qui contient les veritables defini- tions des dits éléments, tandis que les autres deviennent, par I’inversion que demande la transition de l’analyse å la synthése, les definitions des differentes limites, la définition 2 par exemple celle de la limite d’une ligne, et par consequent d’une ligne limitée. Chap. XIV. La stéréométrie. On a reproché å Euclide de ne pas distinguer dans l’espace entre congruence et symé- tne, et on a méme eru que les savants grecs étaient restés ignorants d’une difference qui joue un role si important dans l’architecture grecque. Une telle supposition n’est pas admissible. Si Euclide n’a pas été amené å faire la dite distinction, c’est qu’ici, comme dans la géométrie plane, il veut éviter tout ce qui depend de déplacements mécaniques et intuitifs; en méme temps il préfére les énoncés généraux embrassant å la fois le plus possible. Du reste, la méme distinction aurait du étre faite aussi dans la géométrie plane, dont les opera- tions se font toujours dans le méme plan. Gomme dans la géométrie plane, Euclide regarde comme egales les figures dont la construction est univoque, abstraction faite de tout ce qui appartient au choix de la place, y compris celui des deux cotés d’un plan tant qu’on n’a pas déjå fait ce dernier choix pour un point de la figure å construire. Une telle égalité n’est pas moins caractéristique de deux figures symétriques que de deux figures congruentes. La construction XI, 23 d’un coin trilatére å cotés donnés (voir lig. 14, p. 128 (326)) et le renvoi en XI, 26 å cette construction comme preuve de l’égalité de deux coins trilatéres å cotés donnés, montrent que tel a été pour Euclide le