Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

378 180 véritable critére d’égalité. C’est, en effet, des applications de ce genre qu’il faut tirer les principes généraux qu’il suit en réalité, car les definitions ne se referent qu’å (application des roernes principes aux figures particuliéres. Du reste, dans la Stereometrie, leurs énoncés ne sont pas toujours irréprochables, tandis que le principe que nous avons tiré au clair est suivi d’une maniere conséquente. Chap. XV. EUCLIDE et ses Éléments. La découverte faite pendant le dernier demi-siécle, qu’avant Euclide on avait déjå possédé une partie essentielle des connaissances déposées dans ses Éléments a parfois porte prejudice å l’admiration qu’on accordait å ce savant, mais å tort. On supposait que ces connaissances avaient été originairement acquises par des voies peu differentes de celles qu’on retrouve dans les demonstrations cI’Euclide, et qu’il ne lui restait que la fache de les réunir et completer sur quelques points et d’en accommoder la representation aux formes dont on était successive- ment convenu. Or je ne nie pas qu’en beaucoup de cas Euclide répéte des raisonnements faits avant lui; mais ces raisonnements ne prennent leur véritable valeur logique qu’au moment ou ils deviennent partie d’un Systeme logique total qui éclaire, jusqu’å la derniére supposition, le fondement de chaque vérité particuliére. C’est l’achévement du premier Systeme de cette nature, c’est å dire d’une æuvre purement scientifique, que nous devons å Euclide. Il ne faut pas voir dans l’ordre de ses livres un eftet de contingences historiques. Ayant en vue le but de la géométrie, qui est de trailer des quantités continues, il devait rendre compte aussi du fait qu’il en exisle qui ne sont pas commensurables. Voila ce qui explique (insertion des trois livres arithmétiques qui traitent de la condition de la commensurabilité des radicaux et préparent ainsi la connaissance de celle de leur incommensurabilité. Non seulement sur ce point, mais aussi pour surmonter les autres difficultés que j’ai signalées, Euclide a eu d’éminents devanciers; ce que j’en ai dit aura servi avant tout å faire paraitre la réalite et la grandeur des obstacles å surnionter. Et qu’aprés tant de debats Euclide ait dit le dernier mot et que ses Éléments aient été reconnus dans la suite comme le fondement inalterable de la géométrie, c’est bien lå le meilleur témoignage du jugement de ses con- temporains et successeurs. Chap. XVI. Le sort des Éléments d’EUCLIDE. La lecture des Éléments (TEuclide demande au lecteur un æil ouvert aux vues scienti- fiques de l’auteur. En méme temps, il doit étre, soit prepare par une instruction préalable, soit guidé par un professeur possédant lui méme la tradition indispensable pour s’approprier å coté des démonstrations rigoureuses, de la pratique des methodes nécessaires pour utiliser les vérités démontrées; nous pensons par exemple å la solution des equations du second degré. L’inégale mesure dans laquelle ces deux conditions ont été remplies et aussi, plus tard, le renvoi d’une partie de ce qu’ils contiennent å une algébre indépendante, a préparé aux Éléments cI’Euclide un sort tres variable pendant l’espace de plus de deux mille ans ou ils sont en usage. Les premiers savants alexandrins possédaient complétement ces deux condi- tions. Ils ont done pu développer la théorie des coniques, qui rentre dans le genre d’études que l’auteur avait en vue en composant ses Éléments, et les coniques iI’Apollonius nous four- nissent la meilleure illustration de la fécondité des méthodes de l’algébre géométrique. C’est au contraire pour des recherches entiérement nouvelles qu’Archiméde a trouvé un fondement absolument conforme aux principes de la géométrie euclidienne. Pour cela, il lui fallait ajouter aux postulats (1’Euclide de nouveaux qui sont relatifs å ses nouvelles doctrines soit infinitesimales, soit statiques. Pour composer une statique raisonnée il doit avoir imité les éléves de Platon et soumis les connaissances plus pratiques qu’il possédait déjå a une ana- lyse pour en tirer les »éléments« qui font les points de départ de son expose synthétique. Seion son »Ephodos« ses connaissances statiques Font conduit aux découvertes infinitési-