Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

27 Den „analytiske Methode“; „Elementer“. 225 udtrykkelig opstillede, danner disse det Materiale, hvoraf Euklid’s Lærebygning der- efter synthetisk er opført. Det er netop dette Billede, som finder Udtryk i Ordene Analyse og Synthese. Ved Analysen opløser eller udstykker man den foreliggende Sætning, som for Pro- blemernes Vedkommende gælder Eksistensen af visse Figurer, for Theoremernes saadanne Figurers Egenskaber, i en Del simplere Sætninger, som i begge Tilfælde kan liøre til begge de nævnte Kategorier. Af disse kan man omvendt sammen- sætte den først forelagte mere indviklede Sætning; dette sker ved Synthese. Den ved Analysen fundne Gruppe af enkelte Sætninger, eller snarere Beviserne for disse, udgør de Elementer (m/erø), hvoraf den forelagte Sætning, eller snarere Beviset for denne, er sammensat. Hver enkelt af de fundne simplere Sætninger lader sig paa lignende Maade opløse, indtil man tilsidst kommer til de F orudsæt- ninger, som under forskellige Benævnelser anføres i Spidsen for den hele synthe- tiske Lærebygning, og som udgør de „Elementer“, hvorat alle dens Sætninger (eller Beviser) er sammensatte. P. Tannery gør i sin interessante Afhandling: Sur l’histoire des mots analyse et synthése en mathématique1) opmærksom paa, at en saadan Brug af Analyse og Synthese som Kunstord ikke findes i Platon’s Skrifter; men de er i den Grad Sprogets naturlige Udtryk for de Operationer, som der er Brug for, naar man vilde give Geometrien den af Platon priste rationelle Skikkelse, at hans mathematiske Disciple og Efterfølgere ganske naturlig bragtes til af sig selv at anvende disse Ord. Ogfat man paa, eller dog lige efter hans Tid anvendte Ordet amt^eta netop paa Resultatet af den her beskrevne Analyse, fremgaar af et Sted hos Aristoteles (Metaph. IV, 3, 1004 a), som Tannery citerer, og hvor der i det hele gøres Rede for, i hvilke Betydninger Ordet arot^sia tages. Efter at have omtalt de materielle For- klaringer af Ordet siger han: itapan^atco^ 8e xat rd twv dtaypappdrojv ffroivsxa Asperat, xa't fiÅcoQ rd to>v aTiodel^MV • at "fdp Tipürat djiodet^etQ xat ev nÅetoatv dTtodzlqeatv evundp/ouaat, aurat arot/eia ra>v Åéfovcat. Paa samme Maade siger man „Elementer“ i Geometrien og i Almindelighed i de deduktive Videnskaber; thi de første Be- viser, som genfindes i flere andre føl- gende, kaldes disse Bevisers Elementer. Aristoteles kræver vel en vis Oprindelighed af disse „tørste Beviser , naai han bagefter siger, at Elementer skal være smaa, enkelte og udelelige, hvad der kun vikle være Tilfældet med Axiomer (Postulater); men denne Indskrænkning er faldet fuldstændig bort i følgende Forklaring af den samtidige Mathematiker Me- naichmos, som iøvrigt fastholder den samme Sammenhæng som Aristoteles mellem to Sætninger (eller Beviser), naar den ene skal være Element af den anden. Dei siges nemlig hos Proklos (S. 72,23—73,14): „løvrigt siger man Element paa to Maader (to atot^iov Ås/eTat dr/d)Q\ saaledes ’) Atti del Congresso internazionale di Scienze storiche, (Roma, 1903), vol. XII Sez. VIII 30*