Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

226 IV. Kapitel. 28 som Menaichmos bemærker; thi det som tjener til at opnaa (t<> xaxaoxevd&v) er Element af det, som opnaas (tou xaraaxeua^tpévou), saaledes som Euklid’s første Sætning er det af den anden [Problemer] og den fjerde af den femte [Theoremer]. Paa denne Maade kan man ogsaa kalde flere Sætninger Elementer af hverandre (oyrø de xai dÅM]Åa)v etvat twåå(j. (rcor/ela p^brjaerat)', thi de opnaas ved hverandre. Saaledes slutter man Antallet af rette Vinkler, som en Polygons indvendige Vinkler udgør, deraf, at Summen af de ydre Vinkler er lig 4 Rette, og omvendt. Et saadant Element ligner et Lemma. Men paa anden Maade siger man Element om det, som er det simplere, hvori det sammensatte deler sig (elg o dnÅouaeepov hndp/ov dtatpelrat to advftetod). Paa denne Maade kan man ikke mere sige, at alt er Element af alt, men kun, at det mere fundamentale er Element af det, der kan karakteriseres som Resultat, saaledes som Postulaterne er Elementer af Theoremerne. I denne Betydning af Elementer er ogsaa Euklid’s Elementer udarbejdede saavel for Plangeometrien som for Stereometrien, og saaledes har mange ogsaa skrevet Elementer i Arithmetik og i Astronomi. Citaterne efter Euklid viser, at der ikke her foreligger et ganske ordret Ud- drag af Menaichmos, til hvem det heller ikke er rimeligt at henføre Sammenligningen med et Lemma. Dette Kunstord er vistnok yngre, og det er Proklos, der bruger det til Forklaring af de ham mere fremmede Elementer af første Art. Det er den anden Brug af Ordet „Elementer“, som Proklos bedsi kender, og til hvilken ogsaa vi har sigtet, naar vi har talt om, at Sætninger hos Euklid til Elementer har de simplere forudgaaende Sætninger og tilsidst de opstillede Forudsætninger, og vi ser heraf Grunden til, at selve Euklid’s Bog og lignende Værker kaldes „Elementer“: de bliver nemlig Elementer af de Sætninger, som man sammensætter deraf i videre- gaaende Undersøgelser. Efter selve denne anden Betydning af Elementer maa de findes ved en Analyse og bruges ved en Synthese, Operationer, som vi senere faar andre Beviser for, at Menaichmos kender. Naar han dog ikke bruger disse Ord, maa det bero paa, at de lige saa lidt var slaaet fast paa hans Tid som paa hans Lærer Platon’s; havde han brugt disse senere saa kendte Ord, vilde hverken Proklos eller hans nærmeste Kilde1) have undladt at referere dem. At de ikke bruges her2), er derimod et Bevis paa, at Operationerne er ældre end Ordene, og Henvisningen til Menaichmos paa, al det er med Retle, at den melhodiske Brug af selve Operationerne henføres I il Platon’s Skole. Denne anden Art af Elementer, som er simplere og mere oprindelige end de Sætninger, som de skal tjene til al bevise, er vistnok den, paa hvilken Benæv- nelsen Elementer særlig anvendtes, men fra denne Indskrænkning ser Menaichmos i) Efter Tannery’s Formodning Geminos; se La Géométrie grecque p. 136. Alle de Brudstykker efter Menaichmos, som her benyttes, findes i denne Bog. 2) Naar den mere indviklede Sætning i Citatet efter Menaichmos kaldes au^erov, er det i samme Betydning, som vi vilde sige „sammensat“ uden særlig at tænke paa de Dele, hvoraf den er sammen- sat. Ordet optræder saaledes endnu ikke her som Kunstord, men viser blot, at Brugen af Synthese som Kunstord er meget nærliggende, ligesom det er det for os at betegne de to Operationer som Op- løsning og Sammensætning.