Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

29 Den „analytiske Methode“; „Elementer“. 227 bort i den første Forklaring, som derved faar en almindeligere Karakter, menog- saa passer paa Elementer af anden Art. Den er den selvsamme som den nysnævnte hos Aristoteles. En Sætning A siges da at være Element af en anden B, naar den overhovedet benyttes i Beviset for den, selv om Sætningerne A og B i sig selv er lige simple. I saa Fald kan man ogsaa først bevise B og dernæst udlede A af denne, hvad Menaichmos netop fremhæver ved sit Eksempel: Bestemmelsen af en Polygons Sum af udvendige og Sum af indvendige Vinkler, som ikke er taget fra Euklid og altsaa vistnok er brugt af Menaichmos selv. Saadanne Tilfælde, hvor det kunde være tvivlsomt, hvilken af to Sætninger man skulde sætte først, og hvilken man skulde sætte sidst i et System, der tilfredsstillede Platon’s Fordringer, maatte Menaichmos, som vi skal se blandt de første, der stræbte at efterkomme disse Fordringer, let støde paa. Vi ser her, at han ogsaa i saadanne Tilfælde kaldte den af disse Sætninger, som han valgte at bevise først, Element af den anden. Derved undgik man de Tvivl, som Muligheden af at tage forskellige Udgangspunkter ellers let vilde fremkalde. Overensstemmende med Menaichmos’ anden og i det mindste i Tidens Løb sædvanlige Forklaring af Benævnelsen Elementer er ikke blot Navnet Elementer paa Euklid’s Bog, men ogsaa Apollonios’ Betegnelse af de 4 Bøger af hans Keglesnit som Keglesnitslærens Elementer. Her fremsættes de „Elementer“, o: de Sætninger og Beviser for samme, hvoraf man bagefter kan sammensætte nye, mere indviklede Sætninger og Beviserne for disse. De nævnte Værker afviger derved fra den Fore- stilling, som man nu ofte forbinder med Betegnelsen: elementær Lærebog, nemlig at man ikke vil stille strenge videnskabelige Fordringer til en saadan, medens der netop maatte stilles strenge videnskabelige Fordringer til de Bøger, der skulde an- vendes som „Elementer“ i den antike Betydning. Paalideligheden og Almindelig- heden af det, som man videre skulde finde ved Sammensætning af disse Elementer, eller af de videregaaende Undersøgelser, som man vilde bygge paa denne Grund- vold, maatte afhænge af dennes egen Soliditet og Almindelighed. Havde man saa- ledes først, som det er Tilfældet med Euklid’s Elementer, sørget for at bevise Sæt- ningerne saaledes, at de i lige Grad var anvendelige paa rationale og irrationale Størrelser, vilde ganske af sig selv det samme være Tilfældet med det, som man dernæst fandt ved Benyttelse af disse Elementer. Hvad der karakteriserer et saadant Værk, som fortjener Navnet „Elementer“ i denne Betydning, træder godt frem, naar man sammenligner de to videstgaaende Bøger i Apollonios’ Keglesnit1): den III. og den V. Den første regner han med ti] Keglesnittenes „Elementer“, den sidste ikke. Det er ganske misforstaaet, naar man har villet sætte dette i Forbindelse med den Omstændighed, at Apollonios i den sidstnævnte Bog naar til Resultater, der falder sammen med den moderne Bestem- melse af Keglesnittenes Evoluter, som nu foretages ved infinitesimale Hjælpemidler og derved kan henregnes til det, som vi nu kalder højere Mathematik. At denne Bog ikke henregnes til Elementerne, betyder, at dens Hovedformaal er den fuld- ’) Sinlgn. min Redegøi’else for disse Bøger i „Keglesnitslæren i Oldtiden“.