Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

228 IV. Kapitel. 30 stændige Behandling af en bestemt Opgave: Nedfældeisen af en Normal fra et Punkt paa en Keglesnitslinie. En saadan Behandling maa indbefatte baade Opgavens Løsning og dens Diorisrne eller Afgrænsningen af de Tilfælde, hvor flere eller færre Løsninger er mulige. Denne Afgrænsning, som nøje knytter sig til Opgavens Løs- ning og ikke umiddelbart har noget med Infinitesimalundersøgelser at gøre, kommer til at indbefatte Evolutens Bestemmelse. Hele Undersøgelsen støtter sig paa de almindelige Egenskaber ved Keglesnittene, som er fremsatte i disses i I—IV. Bog indeholdte „Elementer“; dette er jo netop Elementernes Bestemmelse, men deri ligger ogsaa, at man ikke i V. Bog er ført ind i en ny og højere Sfære. Denne sidste Omstændighed skal naturligvis ikke formindske vor Paaskønnelse af, at Apollonios i denne Bog saa smukt og sikkert naar det Maal, han har sat sig; men saalænge han stiler mod det bestemte Maal og er tilfreds med at naa det for dets egen Skyld, bliver Udbyttet ikke „Elementer“. Noget andet er det, at man ved videre Forarbejdelse kan faa dannet „Elementer“ for endnu videregaaende Under- søgelser. Ogsaa dette antyder Apollonios i Fortalen ved at omtale Betydningen af Løsning af de nævnte Opgaver og overhovedet af Berøringsopgaver for Bestem- melsen af Maxima og Minima. I III. Bog har han derimod fuldstændiggjort de Elementer, hvoraf en vigtig Klasse af videregaaende Undersøgelser lader sig sammensætte. Af denne Bog frem- drages vel ofte det smukke og let læste — altsaa ogsaa i moderne Betydning „elementære“ — Afsnit om Brøndpunkterne; men Apollonios selv peger i sin Fortale især hen paa den større forudgaaende, ingenlunde let læste og derfor mindre paaagtede Del af Bogen, naar han skal nævne de Klasser af videregaaende Undersøgelser, ved hvilke der bliver Brug for denne Bogs Indhold, og hvis „Elementer“ den altsaa indeholder. I denne Del af Bogen fuldstændiggøres det vistnok lidligere af Euklid opstillede Bevis for Potenssætningen eller „Newtons Sætning“, som man har kaldt den. Fuldstændiggørelsen er sikkert den, som først blev mulig, da Apollonios fandt paa at betragte to sammenhørende Hyperbelgrene som en og samme Kurve. Denne Fuldstændiggørelse var netop nødvendig for Sætningen som „elemen- tær“ i den antike Forstand, nemlig som en saadan, der skal spille en Hovedrolle ved Sammensætningen af nye Sætninger; uden det vil ogsaa disse blive ufuldstæn- dige, hvad Apollonios netop i sin Fortale bebrejder Euklid. Af Fortalen erfarer man, at denne Bogs Sætninger, blandt hvilke de forskellige Skikkelser af den nævnte Sætning spiller Hovedrollen, er nyltige for „Synthesis“ og Diorismer af „rumlige Opgaver“ (altsaa af saadanne, som vi nu løser ved Ligninger af 3. Grad), endvidere for en fuldstændigere „Synthesis“ af Stedet til 3 eller 4 Linier1), end Euklid har x) I det citerede Skrift henstiller Paul Tannery til mig at gøre Rede for denne sidste Anvendelse af Ordet „Synthese“. I den Anledning skal jeg bemærke, at det endnu ikke kan kaldes en „Synthese1' af disse geometriske Steder, naar det bevises, at et Keglesnit omskrevet om en Firkant, eller som be- rører to Sider i en Trekant i deres Skæringspunkter med den tredie, kan betragtes som „Sted til disse Figurers 4 eller 3 Sider“. Den sidste Sætning er bevist i Apollonios’III. Bog, 53—56; den første lader sig, naar to modstaaende af de 4 Linier er parallele, paa lignende Maade knytte til „Potenssætningen“, hvis forskellige Tilfælde bevises i Apollonios’ III. Bog, 16—23. 1 Hovedsagen maa den omspurgte Syn-